CF1881E Block Sequence 题解

分析

一眼 DP。

定义状态函数 \(\mathit{f}_{i,j}\) 表示后 \(i\) 位中，删掉或不删掉第 \(i\) 个数时，使后 \(i\) 个数满足条件的最小步数。

如果删掉第 \(i\) 个数，有转移方程：\(\mathit{f}_{i,1}=\min(\mathit{f}_{i+1,1},\mathit{f}_{i+1,0})+1\)。

如果不删掉第 \(i\) 个数，则第 \(i\) 个数将会是某个块的第 \(1\)个数，下一个块的第一个数将会至少是 \(i+a_i+1\)。但是，我们可以在 \([i,i+a_i]\) 中删掉一些别的数，使答案更优。所以有转移方程：\(\mathit{f}_{i,0}=\min(\mathit{f}_{i+a_i+1,0},\mathit{f}_{i+a_i+1,1})\)。这个的前提是 \(i+a_i \le n\)。

对于答案，枚举每个终点。对于终点 \(i\)，由于 \(i\) 之前有 \(i-1\) 个数，所以以 \(i\) 为终点时，答案是 \(\mathit{f}_{i,0}+(i-1)\)。状态函数初始时 \(\mathit{f}_{n+1,0}=0\)。

注：有可能全部删完才能使序列满足条件，所以对于答案还要与 \(n\) 取最小。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define re register
#define il inline

int n;
const int N=1e6+10,inf=1e10;
int a[N],f[N][2];

il void read(){
	cin>>n;
	for(re int i=1;i<=n;++i) cin>>a[i];
	return ;
}
il void solve(){
	for(re int i=1;i<=n;++i) f[i][0]=f[i][1]=inf; f[n+1][0]=0;
	for(re int i=n;i>=1;--i){
		f[i][1]=min(f[i+1][1],f[i+1][0])+1;
		if(i+a[i]<=n) f[i][0]=min(f[i+a[i]+1][1],f[i+a[i]+1][0]);
	}
	int minn=n;
	for(re int i=1;i<=n;++i) minn=min(minn,f[i][0]+(i-1));
	cout<<minn<<"\n";
	return ;
}

signed main(){
	int t;cin>>t;
	while(t--) read(),solve();
	return 0;
}