AT_abc263_f [ABC263F] Tournament 题解

分析

一眼 DP。

定义状态函数 \(f_{i,j}\) 表示在第 \(i\) 此比赛中，获胜者为 \(j\) 时的最大奖学金。把比赛过程看成一棵倒着的满二叉树，就能发现：第 \(i\) 场比赛只会是其左儿子为根的子树中叶子节点的某一个与其右儿子为根的子树中叶子节点的某一个进行比赛。然后就可以得到转移方程：\(f_{i,j}=f_{lst,j}-c_{j,dep_{lst}}+c_{j,dep_i}+\max\{f_{lst',k}\}\)。其中 \(lst\) 表示 \(j\) 上一次获胜的场次，\(dep_i\) 表示从叶子节点到 \(i\) 的距离，\(k\) 为与 \(lst\) 相对的子树中的某一个叶子节点，\(lst'\) 就是 \(i\) 的另一个儿子。

可以预处理出来 \(dep_i,lst,lst'\)。答案就是 \(\max\{f_{1,i}|1 \le i \le 2^{n}\}\)。这里令根节点编号为 \(1\)。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define re register
#define il inline

const int N=2e5+10,M=20;
int n,c[N][M];
map<int,int> f[N];
int lson[N],rson[N];
vector<int> ve[N];
int dep[N];

il void solve(){
	cin>>n;
	for(re int i=1;i<=pow(2,n);++i)
	for(re int j=1;j<=n;++j)
		cin>>c[i][j];
	for(re int i=pow(2,n+1)-1;i>1;--i){
		if(i&1) lson[i/2]=i;
		else rson[i/2]=i;
	}
	int nowdep=1,lst=pow(2,n-1);
	for(re int i=pow(2,n)-1;i>=1;--i){
		if(!lst) ++nowdep,lst=pow(2,n-nowdep);
		dep[i]=nowdep;
		--lst;
	}
	for(re int i=pow(2,n+1)-1,k=1;i>=pow(2,n+1)-1-pow(2,n)+1;--i,++k) ve[i].push_back(k);
	for(re int i=pow(2,n)-1;i>=1;--i){
		int maxlson=0,maxrson=0;
		for(re int j=0;j<ve[lson[i]].size();++j){
			int x=ve[lson[i]][j];ve[i].push_back(x);
			maxlson=max(maxlson,f[lson[i]][x]);
		}
		for(re int j=0;j<ve[rson[i]].size();++j){
			int x=ve[rson[i]][j];ve[i].push_back(x);
			maxrson=max(maxrson,f[rson[i]][x]);
		}
		for(re int j=0;j<ve[lson[i]].size();++j){
			int x=ve[lson[i]][j];
			f[i][x]=max(f[i][x],f[lson[i]][x]-c[x][dep[lson[i]]]+c[x][dep[i]]+maxrson);
		}
		for(re int j=0;j<ve[rson[i]].size();++j){
			int x=ve[rson[i]][j];
			f[i][x]=max(f[i][x],f[rson[i]][x]-c[x][dep[rson[i]]]+c[x][dep[i]]+maxlson);
		}
	}
	int maxx=0;
	for(re int i=1;i<=pow(2,n);++i) maxx=max(maxx,f[1][i]);
	cout<<maxx;
	return ;
}

signed main(){
	solve();
	return 0;
}