斜率优化总结

例题引入

题目:Luogu P2365 任务安排
题解:题解 P2365 【任务安排】

模板总结

对于此类方程:$ F[i]={min_{L(i) \leq j \leq R(i)}} \begin{Bmatrix} F[j]+val(i,j) \end{Bmatrix} \( 暂时忽略min和范围得:\) F[i]=F[j]+val(i,j) \( 整理得:\) F[j]=-val(i,j)+F[i] \( 令\) -val(i,j)=f(i)*g(j)+h(i) \( 则\) F[j]=f(i)*g(j)+F[i]+h(i) $
注意到对于每个确定的 $ i $ ,其 $ f(i) $ 和 $h(i) $ 值确定,即可看成常量,因此可以把 $ F[j] $ 看作 $ y $ ,把 $ f(i) $ 看作 $ a $ ,把 $ g(j) $ 看作 $ x $ ,把 $ F[i]+h(i) $ 看作 $ b $ ,则每一个决策可转化成求一个过点 $ (x,y) $ 的斜率已确定为 $ a $ 的直线 $ y=ax+b $ 的最小的截距 $ b $ ,也就求出了最小的 $ F[i] $ 。
考虑其几何意义,如图,可以维护一个决策点的“下凸壳”,易知当直线的斜率处于下凸壳的两条相邻线段之间时决策最优。


一些坑

  • $ g(j) $ 不单调
  • 有些情况下(比如 $ j $ 的范围有限制)无法用单调队列维护
  • 分母为0
  • 浮点数存在精度问题

参考资料

  • 李煜东《算法竞赛进阶指南》
  • Luogu @威慑
posted @ 2019-08-19 21:30  happyZYM  阅读(30)  评论(0编辑  收藏