声学滤波器综合（1） - 根据广义切比雪夫多项式求出非谐振低通原型网络元件

声学滤波器的综合流程如下：
1 求出广义切比雪夫多项式
2 根据广义切比雪夫多项式求出非谐振低通原型网络元件
3 非谐振低通原理网络元件转化成低通原型串联谐振器和并联谐振器
4 低通原型串联谐振器和并联谐振器转化成带通的BVD模型。

1 广义切比雪夫多项式综合

（关于广义切比雪夫的多项式综合可以看另外一篇文章，这里不赘述）

2 根据广义切比雪夫多项式求出非谐振低通原型网络元件

这一步的目的是根据标题1中的广义切比雪夫多项式求出低通原型网络元件，低通网络原件如下图所示。

其中每一个非谐振器节点用电路表示如下：

每一个非谐振器节点有\(B,J_R,b\)三个变量需要求解，每个非谐振器节点之间的\(J\)变换器的\(J\)值也需要求解。接下来就是根据广义切比雪夫多项式求出这些元件值。
首先是写出广义切比雪夫的多项式。

\[\begin{align*} S_{11}&=\frac{F(s)}{E(s)}e^{j\theta} \\ S_{21}&=\frac{P(s)}{E(s)} \\ \end{align*} \]

这里的\(\theta\)表示相位，这个很有用，我们可以利用这个相位角旋转滤波器的输入相位，用于双功器的匹配和模组的载波聚合。写出滤波器的输入导纳。

\[\begin{align*} Y_{in} &= \frac{1-S_{11}}{1+S_{11}} \end{align*} \]

1. 提取\(b_k\)
   \(b_k=\Omega_k\)，其中\(\Omega_i\)是低通原型切比雪夫式项式的传输零点。
2. 提取\(B_{in}\)
   写出：

\[\begin{align*} Y_{in} &= \frac{J_1^2}{\frac{J_{1r}^2}{jb_1+s}+jB_1+\frac{1}{\frac{J_{2r}^2}{jb_2+s}+jB_2+Y_s}}+jB_{in} \end{align*} \]

注意到，\(\frac{J_{1r}^2}{jb_1+s}|_{s=jb_1}=\infty\),所以有：

\[\begin{align*} Y_{in}|_{s=jb_1} &= jB_{in} \end{align*} \]

3. 提取\(J_k\)
   \(J_k\)的目的是使用并联谐振器网络变成串联谐振网络，当网络前后两个\(J\)变换器的值分别为1和-1时可以实现这个的转换，因此:

\[J_k = \begin{cases}1 & k=奇数\\ -1 & k=偶数 \end{cases} \]

4. 提取\(J_{rk}\)
   非谐振网络的第一阶Y参数可以写成：

\[\frac{1}{Y_1} = \frac{J_{r1}^2}{jb_1+s}+jB_1 \]

用\(Y_s\)用表示剩下的网络的输入导纳则整个非谐振网络的输入导纳可以写成：

\[\begin{align*} Y_{in} &= \frac{J_1^2}{\frac{J_{1r}^2}{jb_1+s}+jB_1+\frac{1}{\frac{J_{2r}^2}{jb_2+s}+jB_2+Y_s}} \\ \frac{J_1^2}{Y_{in}} &= \frac{J_{1r}^2}{jb_1+s}+jB_1+\frac{1}{\frac{J_{2r}^2}{jb_2+s}+jB_2+Y_s} \end{align*} \]

\(jb_1\)刚好等于第一个零点，而\(J_{r1}^2\)刚好等于\(\frac{J_1^2}{Y_{in}}\)在零点处的留数。
5. 提取\(B_k\)
用上面的方法求出第一阶网络的\(b_1,J_{r1}\)后，剩余的网络的输入导纳可写成：

\[Y_{in} = jB_1+\frac{1}{\frac{J_{2r}^2}{jb_2+s}+jB_2+Y_s} \]

注意到，把\(jb_2代入\)等式右边，第二项为0，因此：

\[jB_1 = Y_{in}|_{s=jb_2} \]

至此，第一阶网络的所有参数都可求出，后面的网络用相同的方法逐一求出，直到\(B_n,B_{out}\)
6. 提取\(B_{out}和B_n\)
当最后一阶网络的参数被提取后，剩余的网络输入导纳可以写成：
1）当第一阶是串联谐振器且阶数为奇数时：

\[\begin{align*} Y_{in} &= jB_n+\frac{J_{n+1}}{jB_{out}+G_L}\\ B_{out} &= -\sqrt{\frac{G_L-G_L^2Re(Y_{in})}{Re(Y_{in})}} \\ B_n &= Im(Y_{in}) + \frac{B_{out}}{B_{out}^2+G_L^2} \end{align*} \]

2）当第一阶是串联谐振器且阶数为偶数时：

\[\begin{align*} Y_{in} &= jB_n+\frac{J_{n+1}}{jB_{out}+J_{n+2}/G_L} \\ B_{out} &= \sqrt{\frac{R_L-R_L^2Re(Y_{in})}{Re(Y_{in})}} \\ B_n &= Im(Y_{in}) + \frac{B_{out}}{B_{out}^2+R_L^2} \end{align*} \]

其中，\(R_L=G_L=1\)
至此，非谐振低通网络元件全部求出，下一步是根据非谐振低通原理网络元件转化成低通原型串联谐振器和并联谐振器。

参考文献

[1] General Synthesis Methodology for the Design of Acoustic Wave Ladder Filters and Duplexers