数据结构-树状数组学习笔记

🌳 树状数组 学习笔记

树状数组究竟是个什么东西呢？

形态结构就是前缀和与树融合，创造出来的"可以动态加点前缀和" ✨

通过按位存储的方式，使得前缀和可以二分操作。

具体的，是把区间信息像前缀和一样维护出来（不过利用了二进制），然后，让指针站在 0 起点，按照二进制的指令，跳到每个区间，进行操作 🎯

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1. 存储方式 📦

每个点管一小段区间，lowbit（二进制下最低位）决定管多宽。

比如：

• \(c[4]\)（二进制 100，末尾有 2 个 0，所以 lowbit(4)=4）
  管的是 \(a[1] + a[2] + a[3] + a[4]\)
• \(c[6]\)（二进制 110，末尾有 1 个 0，所以 lowbit(6)=2）
  管的是 \(a[5] + a[6]\)

int lowbit(int x){ return x & -x; }   // lowbit代码

🔑 重点： lowbit 决定了每个节点覆盖的区间长度，也是跳转的步长。

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2. 区间加操作 ➕

记住代码里 x、val 各自出现 2 次，i 每次向上跳 lowbit(i)，全加 c[i] += val。

void add(int x,int val){for(int i=x;i<=n;i+=lowbit(i)) c[i]+=val;}
//  ↑                  ↑
//  x出现第1次         x出现第2次
//  val出现第1次       val出现第2次

🔑 重点： 从 x 开始，不断向上更新父节点，直到超过 n。

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3. 区间求和操作 🔢

让 i = x 之后每次往下跳 lowbit(i) 就行，累计 s += c[i]。

int sum(int x){int s=0;for(int i=x;i>0;i-=lowbit(i)) s+=c[i];return s;}

🔑 重点： 从 x 开始，不断向左下跳，累加区间和，直到 i = 0。

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4. 变式 🔄

未完待续

变式	核心思想	代表题目
单点修改 + 区间查询	维护原数组	P3374
区间修改 + 单点查询	维护差分数组	P3368
区间修改 + 区间查询	维护两个树状数组
值域树状数组	把数值当下标，求第k小/逆序对	P1908、P1168
树状数组上二分	倍增找第k小

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一句话总结： 树状数组 = 每个点管一段小区间，lowbit 决定管多宽。sum 从高到低，add 从低往高跳。💪