二分答案及例题讲解
二分
为什么我为OI泪目？因为我菜得离谱......
引入
用来解决有序问题，这里的有序是广义的有序，如果一个数组中的左侧或者右侧都满足某一种条件，而另一侧都不满足这种条件，也可以看作是一种有序（如果把满足条件看做 1，不满足看做 0，至少对于这个条件的这一维度是有序的）。换言之，二分搜索法可以用来查找满足某种条件的最大（最小）的值。
一言以概之：最大值最小化，最小值最大化。
这些问题往往难以通过数据求出最优解，于是我们通过二分枚举问题最优解，再放入数据检查的方式，来得到答案。
发一下二分答案板子
int l=0,r=inf;
while(l<=r)
{
int mid=(l+r)/2;
if(check(mid)) l=mid+1;
else r=mid-1;
}
其中check()表示你写的答案检查函数，l,r表示左右区间
这个板子可以说是万金油，l,r不用思考就这样写，但最后check()符合条件返回0还是1，以及答案是在l还是r就要自己思考了。
接下来有三道例题，读者可选读。
例题
木材加工 P2440黄
题目背景
要保护环境
题目描述
木材厂有 \(n\) 根原木，现在想把这些木头切割成 \(k\) 段长度均为 \(l\) 的小段木头（木头有可能有剩余）。
当然，我们希望得到的小段木头越长越好，请求出 \(l\) 的最大值。
木头长度的单位是 \(\text{cm}\)，原木的长度都是正整数，我们要求切割得到的小段木头的长度也是正整数。
例如有两根原木长度分别为 \(11\) 和 \(21\)，要求切割成等长的 \(6\) 段，很明显能切割出来的小段木头长度最长为 \(5\)。
输入格式
第一行是两个正整数 \(n,k\)，分别表示原木的数量，需要得到的小段的数量。
接下来 \(n\) 行，每行一个正整数 \(L_i\)，表示一根原木的长度。
输出格式
仅一行，即 \(l\) 的最大值。
如果连 \(\text{1cm}\) 长的小段都切不出来，输出 0。
样例 #1
样例输入 #1
3 7
232
124
456
样例输出 #1
114
提示
数据规模与约定
对于 \(100\%\) 的数据，有 \(1\le n\le 10^5\)，\(1\le k\le 10^8\)，\(1\le L_i\le 10^8(i\in[1,n])\)。
解析
读者可以很轻松得发现，我们没什么办法求出l的最优解,但如果我们得到了 \(l\) 的值，check()进行检查只需要\(O(n\))的复杂度。
那我们能不能枚举答案呢？
如果直接枚举的话，复杂度高达\(n\times k\)（10^13） ，考虑到答案具有单调性，如果l变大那么段数肯定变小（起码不会出现段数增大的情况）
想清楚这些我们就可以开始二分答案了
check()函数检查的是段数是否<=条件，符合条件说明段数太多，长度太短，于是长度应当缩小，应舍弃左区间的答案，应将左端点右移到mid。（注意这些判断性的语句，错了一个你的代码都有调好久）
再提一句：
二分右端点应当开大到可能区间的2倍，
最好在来一发#define int long long
以减少见祖宗的概率（保险起见，不然可能会调死你）
下面解析简略(＾Ｕ＾)ノ~ＹＯ
CODE1
#include<bits/stdc++.h>
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
#define int long long
const int tsn=1e5+5;
const int inf=1e9+5;
int a[tsn];
int n,k;
int check(int kis)
{
if(kis==0) return 1;
long long sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++) sum+=a[i]/kis;
// cout<<kis<<" :sum: "<<sum<<endl;
if(sum>=k) return 1;
return 0;
}
signed main()
{
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("00in.txt","r",stdin);
freopen("00out.txt","w",stdout);
#endif
cin>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
int l=0,r=inf;while(l<=r)
{
// cout<<"l,r:"<<l<<" "<<r<<endl;
if(check(mid)) l=mid+1;
else r=mid-1;
}
cout<<r;
return 0;
}
[TJOI2007] 路标设置 P3583黄题
题目背景
B 市和 T 市之间有一条长长的高速公路，这条公路的某些地方设有路标，但是大家都感觉路标设得太少了，相邻两个路标之间往往隔着相当长的一段距离。为了便于研究这个问题，我们把公路上相邻路标的最大距离定义为该公路的“空旷指数”。
题目描述
现在政府决定在公路上增设一些路标，使得公路的“空旷指数”最小。他们请求你设计一个程序计算能达到的最小值是多少。请注意，公路的起点和终点保证已设有路标，公路的长度为整数，并且原有路标和新设路标都必须距起点整数个单位距离。
输入格式
第 \(1\) 行包括三个数 \(L,N,K\)，分别表示公路的长度，原有路标的数量，以及最多可增设的路标数量。
第 \(2\) 行包括递增排列的 \(N\) 个整数，分别表示原有的 \(N\) 个路标的位置。路标的位置用距起点的距离表示，且一定位于区间 \([0,L]\) 内。
输出格式
输出 \(1\) 行，包含一个整数，表示增设路标后能达到的最小“空旷指数”值。
样例 #1
样例输入 #1
101 2 1
0 101
样例输出 #1
51
提示
公路原来只在起点和终点处有两个路标，现在允许新增一个路标，应该把新路标设在距起点 \(50\) 或 \(51\) 个单位距离处，这样能达到最小的空旷指数 \(51\)。
\(50\%\) 的数据中，\(2 \leq N \leq 100\)，\(0 \leq K \leq 100\)。
\(100\%\) 的数据中，\(2 \leq N \leq 100000\), \(0 \leq K \leq100000\)。
\(100\%\) 的数据中，\(0 < L \leq 10000000\)。
解析
二分答案每个路标之间的间隔即可，不用担心中间间隔不等的情况，因为我们求的是最大间距。
CODE2
#include<bits/stdc++.h>
#define mid (L+R>>1)
using namespace std;
int l,n,k;
const int tsn=1e7+5;
const int inf=1e9+10;
int b[tsn];
int check(int key)
{
if(key==0) return 0;
long long sum=0;
for(int i=1;i<=n;i++)
if(b[i]-b[i-1]-key>0) sum+=(b[i]-b[i-1]-1)/key;
if(sum<=k) return 1;
return 0;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("00in.txt","r",stdin);
freopen("00out.txt","w",stdout);
#endif
cin>>l>>n>>k;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>b[i];
int L=0,R=inf;while(L<=R)//ans in R
{
if(check(mid)) R=mid-1;
else L=mid+1;
}
cout<<L;
return 0;
}
数列分段 Section II P1182黄题
题目描述
对于给定的一个长度为 \(N\) 的正整数数列 \(A_{1\sim N}\)，现要将其分成 \(M\)（\(M\leq N\)）段，并要求每段连续，且每段和的最大值最小。
关于最大值最小：
例如一数列 \(4\ 2\ 4\ 5\ 1\) 要分成 \(3\) 段。
将其如下分段：
第一段和为 \(6\)，第 \(2\) 段和为 \(9\)，第 \(3\) 段和为 \(1\)，和最大值为 \(9\)。
将其如下分段：
第一段和为 \(4\)，第 \(2\) 段和为 \(6\)，第 \(3\) 段和为 \(6\)，和最大值为 \(6\)。
并且无论如何分段，最大值不会小于 \(6\)。
所以可以得到要将数列 \(4\ 2\ 4\ 5\ 1\) 要分成 \(3\) 段，每段和的最大值最小为 \(6\)。
输入格式
第 \(1\) 行包含两个正整数 \(N,M\)。
第 \(2\) 行包含 \(N\) 个空格隔开的非负整数 \(A_i\)，含义如题目所述。
输出格式
一个正整数，即每段和最大值最小为多少。
样例 #1
样例输入 #1
5 3
4 2 4 5 1
样例输出 #1
6
提示
对于 \(20\%\) 的数据，\(N\leq 10\)。
对于 \(40\%\) 的数据，\(N\leq 1000\)。
对于 \(100\%\) 的数据，\(1\leq N\leq 10^5\)，\(M\leq N\)，\(A_i < 10^8\)， 答案不超过 \(10^9\)。
解析
二分答案每段和的最大和，再带入check()段数是否符合条件即可。
CODE3
#include<bits/stdc++.h>
#define mid (l+r>>1)
using namespace std;
const int tsn=1e5+5;
const int inf=1e9;
int n,m;
int a[tsn];
int check(int key)
{
int sum=1;
for(int i=1,tans=0;i<=n;i++)
{
// if(tans>key) sum++,tans=0;
if(a[i]>key) return 0;
tans+=a[i];
if(tans>key) sum++,tans=a[i];
}
if(sum<=m) return 1;
return 0;
}
int main()
{
ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("00in.txt","r",stdin);
freopen("00out.txt","w",stdout);
#endif
cin>>n>>m;
int maxn=0;
for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
int l=1,r=2*inf;while(l<=r)
{
if(check(mid)) r=mid-1;
else l=mid+1;
}
cout<<l;
return 0;
}
完结撒花
浙公网安备 33010602011771号