求解两个字符串的最长公共子序列

一,问题描述

给定两个字符串,求解这两个字符串的最长公共子序列(Longest Common Sequence)。比如字符串1:BDCABA;字符串2:ABCBDAB

则这两个字符串的最长公共子序列长度为4,最长公共子序列是:BCBA

 

二,算法求解

这是一个动态规划的题目。对于可用动态规划求解的问题,一般有两个特征:①最优子结构;②重叠子问题

①最优子结构

设 X=(x1,x2,.....xn) 和 Y={y1,y2,.....ym} 是两个序列,将 X 和 Y 的最长公共子序列记为LCS(X,Y)

找出LCS(X,Y)就是一个最优化问题。因为,我们需要找到X 和 Y中最长的那个公共子序列。而要找X 和 Y的LCS,首先考虑X的最后一个元素和Y的最后一个元素。

1)如果 xn=ym,即X的最后一个元素与Y的最后一个元素相同,这说明该元素一定位于公共子序列中。因此,现在只需要找:LCS(Xn-1,Ym-1)

LCS(Xn-1,Ym-1)就是原问题的一个子问题。为什么叫子问题?因为它的规模比原问题小。(小一个元素也是小嘛....)

为什么是最优的子问题?因为我们要找的是Xn-1 和 Ym-1 的最长公共子序列啊。。。最长的!!!换句话说,就是最优的那个。(这里的最优就是最长的意思)

2)如果xn != ym,这下要麻烦一点,因为它产生了两个子问题:LCS(Xn-1,Ym) 和 LCS(Xn,Ym-1)

因为序列X 和 序列Y 的最后一个元素不相等嘛,那说明最后一个元素不可能是最长公共子序列中的元素嘛。(都不相等了,怎么公共嘛)。

LCS(Xn-1,Ym)表示:最长公共序列可以在(x1,x2,....x(n-1)) 和 (y1,y2,...ym)中找。

LCS(Xn,Ym-1)表示:最长公共序列可以在(x1,x2,....xn) 和 (y1,y2,...y(m-1))中找。

求解上面两个子问题,得到的公共子序列谁最长,那谁就是 LCS(X,Y)。用数学表示就是:

LCS=max{LCS(Xn-1,Ym),LCS(Xn,Ym-1)}

由于条件 1)  和  2)  考虑到了所有可能的情况。因此,我们成功地把原问题 转化 成了 三个规模更小的子问题。

 

②重叠子问题

重叠子问题是啥?就是说原问题 转化 成子问题后,  子问题中有相同的问题。咦?我怎么没有发现上面的三个子问题中有相同的啊????

OK,来看看,原问题是:LCS(X,Y)。子问题有 ❶LCS(Xn-1,Ym-1)    ❷LCS(Xn-1,Ym)    ❸LCS(Xn,Ym-1)

初一看,这三个子问题是不重叠的。可本质上它们是重叠的,因为它们只重叠了一大部分。举例:

第二个子问题:LCS(Xn-1,Ym) 就包含了:问题❶LCS(Xn-1,Ym-1),为什么?

因为,当Xn-1 和 Ym 的最后一个元素不相同时,我们又需要将LCS(Xn-1,Ym)进行分解:分解成:LCS(Xn-1,Ym-1) 和 LCS(Xn-2,Ym)

也就是说:在子问题的继续分解中,有些问题是重叠的。

 

由于像LCS这样的问题,它具有重叠子问题的性质,因此:用递归来求解就太不划算了。因为采用递归,它重复地求解了子问题啊。而且注意哦,所有子问题加起来的个数 可是指数级的哦。。。。

这篇文章中就演示了一个递归求解重叠子问题的示例。

那么问题来了,你说用递归求解,有指数级个子问题,故时间复杂度是指数级。这指数级个子问题,难道用了动态规划,就变成多项式时间了??

呵呵哒。。。。

关键是采用动态规划时,并不需要去一 一 计算那些重叠了的子问题。或者说:用了动态规划之后,有些子问题 是通过 “查表“ 直接得到的,而不是重新又计算一遍得到的。废话少说:举个例子吧!比如求Fib数列。关于Fib数列,可参考:

求fib(5),分解成了两个子问题:fib(4) 和 fib(3),求解fib(4) 和 fib(3)时,又分解了一系列的小问题....

从图中可以看出:根的左右子树:fib(4) 和 fib(3)下,是有很多重叠的!!!比如,对于 fib(2),它就一共出现了三次。如果用递归来求解,fib(2)就会被计算三次,而用DP(Dynamic Programming)动态规划,则fib(2)只会计算一次,其他两次则是通过”查表“直接求得。而且,更关键的是:查找求得该问题的解之后,就不需要再继续去分解该问题了。而对于递归,是不断地将问题分解,直到分解为 基准问题(fib(1) 或者 fib(0))

 

说了这么多,还是要写下最长公共子序列的递归式才完整。借用网友的一张图吧:)

 

c[i,j]表示:(x1,x2....xi) 和 (y1,y2...yj) 的最长公共子序列的长度。(是长度哦,就是一个整数嘛)。公式的具体解释可参考《算法导论》动态规划章节

 

三,LCS JAVA实现

 1 public class LCSequence {
 2     
 3     //求解str1 和 str2 的最长公共子序列
 4     public static int LCS(String str1, String str2){
 5         int[][] c = new int[str1.length() + 1][str2.length() + 1];
 6         for(int row = 0; row <= str1.length(); row++)
 7             c[row][0] = 0;
 8         for(int column = 0; column <= str2.length(); column++)
 9             c[0][column] = 0;
10         
11         for(int i = 1; i <= str1.length(); i++)
12             for(int j = 1; j <= str2.length(); j++)
13             {
14                 if(str1.charAt(i-1) == str2.charAt(j-1))
15                     c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1;
16                 else if(c[i][j-1] > c[i-1][j])
17                     c[i][j] = c[i][j-1];
18                 else
19                     c[i][j] = c[i-1][j];
20             }
21         return c[str1.length()][str2.length()];
22     }
23     
24     //test
25     public static void main(String[] args) {
26         String str1 = "BDCABA";
27         String str2 = "ABCBDAB";
28         int result = LCS(str1, str2);
29         System.out.println(result);
30     }
31 }

感觉整个代码就是直接根据上面的那个递归表达式写的。

①第5行定义一个数组来保存最长公共子序列的长度

②第6行至第9行是初始化。为什么初始化成0? 因为: c[0,j]表示啥?表示字符串1的长度是0,字符串2的长度是j,这两个字符串的最长公共子序列的长度是?当然是0 喽。。。因为,字符串1 根本就没有嘛

③第11行至第20行,就是递归表达式的程序表示。第16行至第19行,就是:  c[i,j] = max{c[i][j-1], c[i-1][j]}

④第21行返回最终结果。为什么是返回 c[str1.length()][str2.length()]???看看 c[i][j]表示什么意思,你就知道了。

 

四,参考资料

https://www.zhihu.com/question/23995189

http://www.cnblogs.com/huangxincheng/archive/2012/11/11/2764625.html

 http://www.hawstein.com/posts/dp-knapsack.html

posted @ 2016-06-09 16:52  hapjin  阅读(46167)  评论(14编辑  收藏