Nim游戏

Nim 游戏

题目描述

甲，乙两个人玩 nim 取石子游戏。

nim 游戏的规则是这样的：地上有 n 堆石子（每堆石子数量小于 10^4），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这 \(n\) 堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

分析

总结论 每堆石子数异或和为0则必输，否则必赢

必输状态定义：没有后继情况（没石子了）或者后继状态都是必赢状态（比较显然）

必赢状态定义：后继状态存在必输状态（因为十分滴聪明，所以肯定会选最利于自己的）

所以对于这种游戏，每一种状态肯定是确定了必赢或者必输，（有点用结论说明条件了，不过也比较合理）

现在来证明总结论

结论1 必赢状态一定是异或和非0状态，并且有后继状态为必输状态，即0

考虑假设现在有一种状态的异或和为一个非0的数\(S\)

我们将求\(S\)的式子列出来：a[1] ^ a[2].....^ a[n]= S
a[i]为石堆i石子数量

我们现在要进行的操作是从某一个石堆中取出一些石子，我们要判断的是能否通过一次这样的操作，让整体状态变成必输态，也就是异或和为0
假定\(S\)最高位（二进制最靠左的那个1的位置）为\(k\)（在最右边的二进制位是第一位的定义下）

考虑异或的性质，对于某一位二进制位，如果存在偶数个相同的数字，两两匹配结果肯定为0，所以对于\(n\)堆石子的异或和，第\(k\)位有数字的石堆数量一定是奇数个

知道了这个\(k\)有什么用呢？考虑我们怎么将原式的值变成 \(0\)

看等号右边的\(S\)，任何数与自身异或的结果都为0，所以等式两边都异或上一个\(S\)结果就会变成0
根据异或运算满足结合律，这个\(S\)放在左式的任何位置都是不会有影响的

考虑等式左边的式子异或上0是否是我们进行一次操作可以做到的事
发现因为第\(k\)位是\(S\)的最高位，假如a[t]第\(k\)位也为1（肯定是存在的）那么这两个数进行异或所得到的结果一定是小于a[t]的

为什么呢？考虑在\(k\)位之前，\(S\)都是0，所以前面的异或结果和a[t]的一样，而第\(k\)位两数相等则为0，这样无论后面怎么样，异或结果都一定必a[t]小，所以这是我们一次操作可以做到的

考虑若必胜情况为0，\(k\)就为0了，那无法进行任何操作还算啥必胜

结论2 必输状态一定是异或和为0，并且没有后继状态或者后继状态都为必胜状态，即非0

还是列出式子：\(S\) = a[1] ^ a[2].....^ a[n]

若a中都为0，那不用想肯定取不了必输

而不都为0，那么改变任何一个数，都会引起某些二进制位上1的数量不再是偶数，那么\(S\)值必定增大，也就是必定走向必胜状态

至此证毕