高三数学套卷练习记录

2024
2025

2024

不妨重新开始计数。

2024 Aug

1 2024.8.4 2024届新高考一卷——【自测】120

【总结】做的时候很焦虑，很担心时间来不及。做题历程是 skip 了选填倒一，做到 T18(3) 发现不太会，做 T19(1) ，回过去补完选填之后继续做 T19(2) 。很遗憾，本来 T19(2) 的做法是很自然地想到的，但复查的时候读错题了，以为分成 $4$ 组每组 $m$ 个，于是没敢写上去，卡在这里找 $m=5$ 的解法。不过就算考场上没出这个问题，再算上一点步骤分的话，感觉现在也就 $130$ 的水平，还是差得远了。

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2 2024.8.15 2025届省熟中高三上周测1——【限时】109

【总结】因为开始做套卷了所以把周测也算进来吧。稍微有点体会到了，所谓 $22$ 年全是中档题的影响，挂飞了。小题做得很顺，没卡壳，但没想到咋会因为两个审题错误和两个计算错误错了 $20$ 分呃。T16 立几感觉证明得很完备，但第三问没理解题意错了了。 T17 导数，(2) 一时间没想到咋做，把答案写了出来先 skip 了。 T18 解几，第三问看着有点麻烦也 skip 了。 T19 逆序对数，一眼题，我上来全秒了。结果 (1) 漏了 $2$ 个解， (2) 忽略了相同奇偶性下自身可能存在的逆序对数， (3) $C(n,2)=\frac{n(n+1)}{2}$ ，唐完了，没留一点步骤分。自以为秒完之后回来写 T17(2) ，指对都有很显然要同构。最后写 T18(3) 的时候，放缩发现符号反了，时间不够直接毁了。事实证明可能做得还是得静心一点，不能想着很显然就放弃思考。

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3 2024.8.17 2025届炎德英才高三上学期入学考——【自测】124

【总结】呃，做的太顺了，一路做到 T18(3) ，写完又继续写 T19，甚至多了 $10$ 分钟把小题都检查了一遍。结果选择最后一个错了，这个也算是学到了。 T15 概统在选取两种不同情况时忘记乘 $2$ ，经典错误烂完了。 T16 解几做的时候都把题目的限制条件忽略了，烂完了。 T17 做的时候感觉几何法太烦了，还不如直接建系算w。 T18(2)(ii) 做麻烦了，把各种情况都讨论了一下，答案很简洁，但也相应的缺少部分说明。 T19(3) 我写的和标答完全不一样啊，我直接把合法解情况给了出来然后进一步证明各种条件，感觉说的并不是很好，扣 $5$ 分意思意思吧。

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4 2024.8.19 2025届雅礼中学高三上学期入学考——【自测】130

【总结】呃，做得挺顺的。做到 T7 发现做不出，瞎选了一个。 T14 感觉同构，但不太会，瞎猜了一个。难绷的是 T5 的充分和必要看反了，又错一个。 T15 三角，思路很顺畅，就是中间写错了一次。 T16 导数，没难度。 T17 立几，有种很熟悉的感觉，没难度。 T18 解几， (2) 显然是非对称韦达秒了。 (3) 感觉像蒙日圆，但不太会就 skip 了。 T19 搞笑差分题，从头做到尾没难度。回过来看 T18(3) 爆算半个小时也写不出来，唐，还忘记了回去做小题，不该死磕的，直接被爆了。

听完讲评之后发现 T7 做的时候思路对了，但实现上有点小问题。 T14 弱智同构，不应该太心急跳过的，当时为了凑 $30min$ 的时间开大题，呃呃，警钟长鸣。 T18(3) 的解几同构又学习了一下，相信之后再碰到应该会了。

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5 2024.8.24 2025届省熟中高三上实验班周测1.5——【自测】123

【总结】限时的时候中断了很多次呃呃。小题花了 $40min$ ，有点多了，做的时候有点怀疑自己。开始做大题发现 T15,16,17 数列，立几，概统都没难度，又把时间追回来了。此时还有 $50min$ 做 T18 解几和 T19 新定义。由于事先得知 T19 < T18 ，所以 T18 求完椭圆方程之后就去看 T19 了。 T19 又是什么垃圾题，秒了。秒完回去算 T18 ，算到结束也算不出。伤心。

订正完回看。 T3 乘法原理错的很幽默，当成是分组处理多除了 $2$ ，警钟长鸣。 T10 的 D 考场上不太会，但其实只需要注意到 四点共圆一定满足其中任意两点连线的中垂线过圆心 就好了。 T18 就很幽默了， (2)(i) 的思路和答案保持了一致，不能直接求 $x$ 的取值范围，那就只好先求 $x+\frac{1}{x}$ 的取值范围来做。但因为我是正设的，所以算不出来，答案是反设的就比较简单了。而 (ii) 纯粹控分题，考场上不认为能做出来。唯一值得学到的是 角平分线上的点到两边的垂线距离相等 ，通过这个来转化条件然后消参爆算，但这题计算量太大了，做不了。 T19 ，呃呃，万万没想到 $f(x)\in I$ ，指 $f(x)$ 的值域是 $I$ 的子集，错光了。虽然其实还是很简单，而且思路也很对。

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2024 Sep

6 2024.9.8 2024届汕头一模——【限时】115

【总结】周测试卷。呃，做得一坨。时间安排的很差啊，本来想 $30min$ 做完小题的，选择做得也很顺。结果 T8 看错题意了算了好久，直接把计划都打乱了，然后就开始赶时间，好在多选和填空也都做得比较顺利。做完 T15 数列还剩 $1h$ ，略慢。 T16 导数很常规，速通了。 T17 立几，没啥难度，但算出来答案就感觉算错了，可惜为了继续做就没看哪里算错。 T18 解几，没思维量的计算题，但我算了很久很久也算不出来，最后发现算的结果少了一个分母，不然就对了，呃。 T19 概率，难评，我甚至都没什么时间看，理解错题意导致 (1) 就错了，算了。事后发现题目很简单，秒了。

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7 2024.9.11 2025届武汉九调——【自测】105

【总结】认清自己。昨天 zzj 在学校里问了我 T19(3) ，我事先不知道这就是武汉九调，花一节数学课略带瑕疵地做出来了。这张试卷留了很久都没做，没想到被剧透了 T19(3) ，有点崩溃。但好在做完之后更崩溃，考场上肯定是没时间做 T19(3) 的。

小题做了 $55min$ ，有点慢。 T7,8 都不会卡了一会， T14 误以为是对称的。 T15 立几和 T16 导数比较友好。 T17 感觉是全卷最大败笔，做（2）的时候忘记了 $∠A=\frac{\pi}{3}$ ，故而全程都在用一个莫须有的 $\theta$ 做，同时我还没想到用等积法，而是拿角平分线定理硬算，导致计算量极大，算不出来先 skip 了。 T18 直接止步于 (2)(i) ，考场上直接大脑宕机被自己设的四个未知数弄晕不知道如何进行下去，不会做扔了。 T19 由于事先知道背景，直接就把（1）(2) 写了，但考场上 (3) 肯定是不会的，空着也不管了。回过头重新做 T17 ，审视了一下发现了条件，于是重新拿角平分线硬算做了出来。

心态有点崩溃，难以形容这么多低级错误是怎么发生的，看来得加训了。

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8 2024.9.13 2025届潍坊高三开学考——【自测】114

【总结】 T4 没读清题卡了一下， T11 有点不会 C 就不管直接 skip 了，选择好像做了 $40min$ ，有点慢。 T12 又被圆锥卡了一下，我是人啊，怎么感觉每次看到圆锥都会反复验算。 T14 计算量作为小题很大，感觉是什么二级结论题。大概在 $1h$ 时顺利进入大题， T15,T16 很水。 T17 一眼了，但取点的时候想了一会没想到，直接小邻域过了。 T18 解几，呃呃， (3) 算了半天不会啊，skip 先。 T19 错排，就是因为这题所以挑了这张试卷。事实证明我在考场上也只能大众分， (2) 没证明直接过了， (3) 看了看不会，只好回过去做 T18(3) ，惊讶的发现算出来了一个很好的答案。

订正。错了 T3 ，每个小正方形长度为 $2$ ，审题啊审题，除了这个和 T11C 外没错别的，还能接受。 T17 发现点在试卷上我已经取出来了，但当时没想好又划掉直接小邻域了，可能下次还是得多想想，当然这么做也还算能接受的策略吧。 T18 烂完了， (2) 联立方程错了， (3) 联立方程也错了？？？我在干嘛？？？ (2) 和 (3) 列的是两个不同的方程且我错了两个不同的地方。 T19(2) 显然需要证明， (3) 看着其实是数列里的常见 trick ，但考场上太急没来得及想。

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9 2024.9.15 2024届深圳二模——【自测】110

【总结】居然赶巧在做这张试卷的 T18 前把这张试卷写了，还好。感觉大概有 $10$ 分是不该扣的，除此之外就是纯菜了。

单选做得很顺， T10 感觉有错的很明显的直接排除法了（伏笔）， T11 试了一下选了 AB 走人了。然后就来到 T14 了，完全不会做，看不懂啊，猜了第一空。此时花了 $50min$ ，开始做大题。 T15,T16 水题略过。 T17 概率， (2) 不会证，试了一会也不会。 T18 解几， (1) 看着就有点计算量，但也没那么大，做完先 skip 看 T19 了。 T19 第谷猜想， (2) 就不会做，总感觉和奇偶性、整数这样的性质相关，但还是不会。回过去写 T18(2) 列了一下式子看呆了，又回过去看 T17(2) 也不会做啊。

事后发现这张小题错了很多扣了 $16$ 分， T10 乱排除错了， T12 还算错了呃呃，这是不应该的，此外感觉就是硬实力不行，被 zps 锐评同期没低于 $125$ ，还得加训啊！

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10 2024.9.16 2025届雅礼9月综合自主测试——【自测】130

【总结】貌似实际上并不是雅礼的卷子，但也不管了，近期做的最好的一张。整张试卷感觉难度不大，计算量略大，我做得很慢。小题都是一路过，没什么难题，但还是做了 $50min$ ，做完总是不放心又检查一下。 T15 概统水题，但我还不自信地反复验算（。 T16 三角， T17 立几看着略不一样的常规题。 T18 解几，写了第一问就先去看 T19 了。 T19 导数，前两问很常规， (3) 看着不太一样，但来不及了啊，回过去做 T18(2) 。发现 T18(2) 算到最后没算出来呃，来不及了。

事后订正，小题扣了 $2+2=4$ 分多选，我太谨慎了草。 T18(1) 的范围没写出来，属于是注意到了要写范围但没写完善， (2) 最后算错了，实际上很简单，订正的时候秒了。 T19 的 (2) 没注意到因式分解，呃呃，我是咋了，又写了小邻域感觉该扣一点分，现在导数水平堪忧啊！(3) 题目看着吓人，标答是分成两个函数求最值算，但我感觉做的很奇怪啊。问了 zzj 说，直接把 $\ln x$ 放掉就好了，试了一下还真是，而且还宽松的离谱，感觉这题烂完了。

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11 2024.9.18 2025届江淮十校第一次联考——【自测】107

【总结】计时是分段的，可能超过了时限，但也不管了。以后在考试前不做卷子了，做这张心态崩了，全不会做。

单选做的还行，就 T5 卡了一下，多选每道题都放了点，见好就收，填空卡了会 T14 。至此才在第 $1h$ 时开始做大题。 T15 和 T16 都是水题，但有点计算量。 T17 就不会了，不知道咋同构啊，算不出来， skip 了。先做 T19(1) ，算完回去做 T18 。呃，期间题目读错了好几次，勉强做完，列举，最有效的方法。

批分，小题里卡的都错了，多选每个都漏一个，绷。 T17 和 T19 都是一个没分的状态，好在 T18 算对了，不过有一种情况里多算了一种，导致答案错了。还行吧，在现有水平下，这个策略还算行。

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12 2024.9.19 2025届湖南雅礼中学高三月考（一）——【练习】未计分

【总结】据yjc说很简单，在期初考当天下午自习开始做的。做了一下试图当信心卷，结果错了很多小题。。。直接没信心了，随后把大题对照着答案写了。感觉解几的 T14 和 T18 都是有点难度的。

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13 2024.9.19 2025届苏州高三上期初——【考试】114

【总结】呃，小题做得挺顺的，做得也很快，以为稳了啊，第 $45min$ 就开大题。 T15,16 都是水题，做了 $10min$ 。 T17 呃呃，隐零点试了半天不知道正负，然后发现 $\frac{\pi}{2}$ 处好像就小于零，速速写了，写了 $20min$ 呃呃。 T18 做了 (1)(2) ，感觉第三问也不像是正常做的，就想去看 T19 。结果 T19 看了会， (1) 求不出 $b_n$ 直接晕了呃呃，时间所剩无几， (2) 也不会，烂完了。

鉴定为 T8 猜错了，考场上确实把一个条件算错了，导致算不出来。 T11 经典放缩也看错了，没再仔细看眼，不太应该。 T14 一个个列出来的，但怎么多数了两种，逆天。 T19 还莫名其妙得了一分，难绷。赛后发现这个 T19 挺简单的，但我被这个 (1) 就困死了，应以为戒。

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2024 Oct

14 2024.10.7 2025届浙江名校协作体期初——【自测】128

【总结】想做这张试卷很长时间了，一直搁置了，今天才抽时间限时了一下。

前卷该跳就跳了，做得很快。 T8 ，T10 D ，T11 这些都不太会就直接 skip 了。 T14 第一次做的时候读错了，做了一会。 T15,16,17 都是水题。 $40min$ 时开 T16 ， $60min$ 时开 T18 ，做得飞快。 T18(1) 一眼齐次化啊， (2) 看着有点繁琐，先 skip 了。然后看 T19 ，秒完 (1) 之后就不会了。做 (2) 时想到的拙劣方法是把所有子集列出来发现不行，绷，估计考场上还是能得一点分的。 (3) 就完全不会了。此时回过去重新算 T14 ，发现读错题了，又好好模拟了一会，以为做出来了。然后再回过来做 T18(2) ，注意到 PF 肯定是角平分线，发现很好就证明出来了。然后又卡住不太会了，不太懂怎么算这个面积比较好。最后才发现，可以直接底乘高算，方程刚列出来就来不及了。

考后发现， T14 还是错了，笑点解析：没注意到等差数列公差为零的情况。 T18(2) 的做法和标答完全不一致啊，但最后方程是一样的，所以只要再多算一会就对了。姑且只给自己扣了答案分，希望考场上也能如此。 T19(2) 的分析点原来在奇偶性上，没想到，还以为是数值大小的比较。列出来这样丑陋的方法还是不给分了。

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15 2024.10.12 2025届湖北腾云联盟10月联考——【自测】119

【总结】昨天晚上 lym 问了我这个的 T18 ，感觉还不错就留着今天晚上做了，正好今天晚上算放假了没作业，绷。总体感觉难度和期初考差不多，可能略简单一点。upd：这个 T18 在12月的月考里考到了原题，但考场上写错了一个符号，呃呃，最后没证出来扣了分，太唐了吧。

做选择的时候有点困，把 T7,8 都 skip 了，一路做到了 T11 实在困得不行，先睡了 1h 。呃呃，回来只确定 $B$ 不对，其他感觉还是不太会， skip 了往后做。 T14 在前几天刷视频的时候看到说问在二维平面内的这个模型以什么样的图形满足以最大的面积绕过这个拐角，说至今无明确的解，不过这个是题外话了。这个题没那么难，注意到是三维再相似算一算就好了，挺创新的。于是就在 $40min$ 时顺利开大题，差不多 $10min$ 一题把 T15,16 过了，虽然 T16 这个有点不会写，糊了一个上去感觉略扣一点步骤分。又花了 $20min$ 把 T17 写了，中途算了一个负数出来以至于重算了一次，难绷。第 $80min$ 开 T18 ， (1)(2) 都挺显然的， (3) 看着不太会， skip 。 T19 (1) 纯送， (2) 思考了一会，感觉就是马尔科夫链递推啊，但来不及，没想好状态咋设计。回过去做小题， T7 很唐啊，用下极点极线的二级结论，算了一会就好了。 T8 是个大枚举题，全枚了一遍之后因为答案之间差的挺大的，所以也很显然。 T14 其实还是不太会怎么做，但是因为注意到了之前推出来的性质，发现肯定和三角函数有类似的性质，于是 $C$ 肯定错，那么只有 $AD$ 对了。

呃，没想到的是， T10,T11 都选错了而 -12 。伤心。其他小题都对了，还挺不错的。 T7 原来可以直接等积法， T8 果然就是组合性质然后加一下， T11 的本质是双曲正余弦函数，学到了。T14 的做法和标答不太一样。感觉这些题，我做的没有任何技巧，只有死算。 T16 果然错了，既然已经发现了是中间点恒成立，就应该大胆参变分离啊，考场上怎么直接昏头了还在想移项直接算。 T18,19 其实质量都挺高的，但我现在这个水平就是不太会做又来不及，悲。以及 T19 的 (1) 好像送分太多了，绷。

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2024 Nov

16 2024.11.22 2025届广东省高三11月第二次调研考试——【自测】126

【总结】感觉很简单的一张试卷啊，但做得很烂，无论从考试策略还是做题状态来看都有点烂其实。

考场上心态比较放松，呃，小题没被卡，但放掉了 T8,T11,T14，好像放得有点多，$30min$ 速通了。T15,16 一眼题， $10min$ 速通了。 T17 立几忘了面面平行推线面平行怎么写，绷，果断换方法重做，浪费了点时间，写了 $20min$ 。 T18 有且仅有的难度是计算，但我解 $8x+8=0$ 解出来是 $x=-2$ ，白给了。此时还有 $40min$ 做 T19 ，$5min$ 做完 (1) 后，苦思冥想 (2) ，全然忘记了小题空了很多，逆天。结果 (2) 其实有点点猜想，但不多，以为自己考场上是想对了没写出来，一对答案发现是想错了， (3) 放了。

对答案发现 T8 蒙对了， T9 多选了一个错了， T11 漏了一个， T14 错了一半的分。大题除上述问题以外没扣分。

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17 2024.11.23 2024届浙江L16联盟高三返校适应性测试——【练习】101

【总结】很难的一张试卷，以前做过大部分小题了，但没想到自己不限时做还是错了很多。

T3 错了，考虑两个人会带来的贡献。T6 错了，考虑几何意义是点 $(-1,-1)$ 到直线 $x+y=1$ 距离的最小值。T8 之前没做出来今天做出来了，答案给的做法是累加得到 $a_m$ 通项，我的做法是列了四个方程硬解出 $a_2,a_3,a_4,a_5$ ，绷。T10 错了，我咋把B选进去了。T11 错了，之前订正完还是不会，答案给的是列出切线方程然后要有两个零点，感觉其实没那么难。T12 错了，我算了几遍都没注意到符号问题。T14 上次不会，这次取特殊值结果是错的，标答的做法过于有技巧性。

出题人声称：这一个式子实际上也可以成为双曲线的定义式。平面内一点到y轴的距离与该点到x轴上两对称点的距离之和的比值为定值的轨迹方程为双曲线。以这一个定义类推到椭圆也有类似结论。

T15 好题，可以考虑参变分离简化计算量。我没注意到，分类讨论了四种，相比之下会花费更多的时间。T16 不会三棱台的证明，积累了。T17(2) 不会，做的时候算了很久，拿万能公式去带，但算出来分母为 $0$ 完结了，答案是结合基本不等式和第一问结论放缩，很简便。T18(2) 很逆天的分讨，设了一条直线算错了，这里设两条直线可以轻易地算出每一个量，硬算即可，策略失误。T19(1) 积累到了， (3) 是逆天分讨，没有难度但考场上做耗时太大了，我是基于 $d_4^2=7=1^2+1^2+1^2+2^2$ 讨论的，过于繁琐，答案由 $d_1^2-d_3^2$ 得到 $2b-d=3$ 并结合奇偶性和 $d_4^2$ 的范围，共有三组可能解，相对会好做一些。

百分位数计算：如果是第 $75\%$ 百分位数，且一共有 $4$ 个数，则令 $75\%\times4=3$ ，故取第 $3,4$ 位数的平均值；若一共有 $5$ 个数，则令 $75\%\times5=3.75$ ，向上取整得到 $4$ ，故取第 $4$ 位数的值。类似地，有百分位数计算的规则。特别地，上四分位数即第 $75\%$ 百分位数。

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18 2024.11.25 2024届九省联考——【练习】115

【总结】呃，区分度很差的一张试卷，难评，我要是去年考场上看到这种真的有点难绷。

T10 漏了 $D$ ，这题如果直接定义硬算的话挺难的，但如果用复数的三角表示的话，能很显然发现是对的。T14 已经变成经典题了，但我手欠写错了。

T15,17 都是简单题， T16(1) 没考虑每次选求都有 $2$ 种，不该错的。 T18(2) 解几里很精彩的面积转化，可以通过构造中位线的方式来将三角形面积转化为筝形计算，其他的方法也巧妙。T19 纯粹的烂。

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19 2024.11.26 2024届浙江新阵地教育联盟第三次联考——【练习】126

【总结】这套的小题之前也做过了。

T7 错了，实际上不太难。T11 今天又错了呃呃，难以理解我咋把 $A$ 选进去的，虽然 $CD$ 还是没想到。今天又订正了一下，理解更深了一点，这题的转化还是很有趣的。

T15,16,17 都是简单题。 T18 很烂，这个数据考场上真的有人能算对吗？另外，我试图用了权方和不等式做，但答案不是，不过实际上想想也知道取不到等边三角形的情况，只不过我当时已经做昏头了。 T19 很典，基本上是看着就有思路。唯一值得记的是，要证不等式，一边是数列求和，另一边是 $\ln2$ 时，考虑 $\ln2=\ln(2n)-\ln(n)$ ，其他数据时同理。

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20 2024.11.27 2025届10月天域全国名校协作体——【练习】106

【总结】呃，作为考卷纯逆天，单论题目的话，还是学到了很多的。

T3 没注意好有个 $2$ 错了，警钟长鸣。 T7 不会做吓住了，实际上不难。 T8 是很精巧的相关系数的题，完全没想过是这样的，学到了。 T9 没把 $A$ 选进去，实际上在频率分布直方图中，没有特别说明就认为是中点值即可。 T11 没把 $D$ 选进去，做的时候看都没看跳了，结果发现其实没那么难，甚至列举即可。这个题的思想和之前遇到过的一道小题很像，都是确定了一半的数后，另一半的数也随之确定。 T12 做的时候看错了，算是个消元的思想。 T14 很牛的题，根据条件能初步画出图像，然后大胆猜想可以取到平台处，于是尝试之。

T15,17 简单题。 T16(2) 呃就不会了，直接给我做懵了。首先要注意到参变分离，其次新函数在 $x=1$ 处是间断的，于是可能存在渐进线，要对 $x=1$ 两侧分别研究，于是就好做了。作为大题，答案又是分参，又是给了 $4$ 个趋向，有点反常规。 T18 很符合高考趋势，首先直接计算能做，但很麻烦，其次如果能找到几何性质，题目就能减少很大的计算量。于是 (2) 需要注意到 $M,R$ 对称，可以通过面积之比转化为点到 $PM$ 距离之比，从而说明之。于是 (3) 需要注意到，$D,Q$ 等高，即 $TQ$ 是直角三角形的斜边中线，这样的转化真的很神奇。此时有两种做法说明，其一是定比点差，其二是非对称韦达。 T19(2) 是好题，因为实际上显然能发现不存在，于是就要考虑怎么构造矛盾，其中题目根据 (1) 的若有若无的铺垫对奇偶性进行了矛盾的构造，很高妙。 (3) 是经典放缩。

注：经典放缩： $\frac{1}{n\sqrt n}<\frac{2}{n-1}-\frac{2}{n}(n\ge 2)$

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2024 Dec

21 2024.12.1 2024届宁波十校3月联考——【练习】未计分

【总结】全都不会做咋计分。现在回看题目的难度实际上不太高，但是中档题一个一个接着来，且计算量极大。计分也可以，但没必要了。这张试卷较新奇，至少对我来说有很多没想到的地方。有各种方法可以做题，但往往存在一种较有的较轻松的做法，很符合当下高考的趋势。总而言之，这张试卷适合花上一天的时间去细细地思考、尝试、订正、学习，而不太适合作为考试的试卷。

T6 做的时候直接考虑硬算然后算不出。被 zjt 锐评几何性质一眼。其实我也是这么猜的，只是我不知道咋证，所以想试试能不能硬算出来。然而其实很好证。注意到圆心与直线垂直时，切线能得到两个全等三角形，再根据垂直发现另两个角也相等，同时对顶角相等，显然对称。

T8 做的时候不会做。现在来看实际上思维量不大，需要发现其实是个比大小，然后就算，可能需要用到泰勒展开来做，或者就是想到构造函数。

T9 是概率统计经典结论全家桶。 $A$ 是百分位数在第 $17$ 张试卷中记过了。 $C$ 是必修二上频率分布直方图中关于中位数和平均数的经典结论，实际上只需要知道：频率分布直方图的面积和为 $1$ ，那么中位数会将图分割为两个 $0.5$ ；与钟形曲线相比，由于平均数会受极值影响，其更偏移程度比中位数小。 $D$ 又是个经典结论： $D(X)=E(X^2)-E^2(X)$ 。

T10 做的时候犯了很严重的错误而不自知。根据题目范围代入得到的 $\sin x$ 的范围，必然是满足是 $\omega=1$ 的情况，故而不会做了。实际上应该将极值点位置代入新函数解出 $\omega$ ，于是就很好做了。

T11 是立几小题全家桶。思维量不大，但计算量极大，考场上应当注意好心态和时间。 $A$ 直接建系。 $B$ 可以直接考虑取出其他中点，根据平行关系，截面也就随之出现了。 $D$ 画图先定下来小球的位置，再考虑相切即可。

T13 需要齐次化，再用两次基本不等式放缩，做题的时候有这样的想法但没做出来，有点可惜。

T14 在圆曲中看到斜率应当注意到第三定义。通过第三定义以及几何性质，便可以很简便解出本题，算是初见杀了，甚至说是本题的唯一解。

T15 看着有点吓人，但不妨做出图来计算出边与边之间的关系，就可以转化为代数的求最值问题，此时需要进行一些不算太繁琐的换元、化简即可，只是不太符合 T15 这个位置。标答给的是角的做法，考虑到正弦定理来化简式子，就方便得多了。

T16 看着就很几何，但我还是选择硬着建系来做。实际上也不麻烦，但问题在于建出系后即使计算出了各个量也不知道该如何求解。于是只好重新开始考虑几何做法，发现题目说的量完全可以用等体积法，同时注意到底面有等边三角形自带垂直，几何性质非常优美，几何爆算即可。然而一看标答发现是很优美简洁的建系做法，由于我先将法向量计算出来之后试图逆推点在平面内很难计算，而标答先通过点在平面内设出坐标，随之得到法向量，此时计算就很简洁方便了。

T17 简单题，直接参变分离写趋向。T18 计算有点烦，还要注意一下是奇偶项。

T19(1) 就有个坑，需要注意到 $A,B,F$ 三点不共线。 (2) 也算是一个圆锥曲线全家桶，但计算量很大，且需要能将两条圆锥曲线抽离开分别考虑。服了，这张试卷咋都是这种缝合题啊。首先，需要考虑计算出 $P,Q$ 的横坐标。于是，不妨只考虑 $C_1$ ，肯定会想到设直线 $AF$ ，联立计算发现 $y_1y_2=-4$ 为定值，再得出直线 $BC$ ，令 $y_P=0$ 计算发现 $x_P=0$ 。再只考虑 $C_2$ ，联立计算能得到极其丑陋的式子，但还是可以发现其满足非对称韦达。类似地，得出直线 $BD$ ，令 $y_Q=0$ 计算，并代入非对称韦达可以计算出 $x_Q=\frac{1}{2}a^2$ 。于是就得到了求面积时的底。根据题目给出的 $S_1=3S_2$ ，并代入 $y_1y_2=-4$ 的关系，可以发现此时解方程仍需要 $y_1^2$ 才可以求解。于是联立 $C_1,C_2$ ，直接计算出 $x_1$ 代入得到 $y_1$ ，解出方程即可。实际上， (1) 的规范做法就需要联立 $C_1,C_2$ ，否则会被扣分。

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22 2024.12.6 2025届巴蜀中学月考（三）——【练习】128

【总结】分两天前后做完了，感觉除 T19(3) 外不难，做起来还是比较顺畅的，部分题目也存在一些较简便的方法，整体挺好的。

T10 简单题，但这里凑等和线的时候误将取中点认为是取两倍当前长度，于是错了。T11 简单蛛网图，蛛网图的横坐标其实就是 $a_n$ 的各项取值，不知道为啥漏选了一个。

T17 蝴蝶定理，因为两三角形的定交点在 $x$ 轴上，所以其实可以用各点横坐标来代替线段长度，很容易就做出来了。但我自己做麻烦了，拿两点距离公式硬算，不过还是做出来了。T18 面对题目要求计算的两函数的交点情况，直接作差求导考虑即可，不必考虑几何意义，因为不好写过程，其实也不太难。T19(3) 不可做题，虽然能通过 (1) 猜到答案的，但也证明不了，技巧性太强。

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23 2024.12.9 2024届宿迁高三下学期调研——【练习】未计分

【总结】是校内的周末和周一作业，总体来说难度挺友好的，做起来很顺畅，考场上估计也不会太差。

T6 指出是投影就直接代公式代数算就行，考虑几何意义反而麻烦了。T14 是道挺有意思的立几，思路和标答一样但没算出来，考虑立体图形的情况，不妨画正视图和俯视图，实际上不难。其他小题都比较简单，算算就行。

T18 也是道无需多加翻译，思路十分顺畅的导数，中间的找点实际上也挺显然的。 T19 题目不难，但细节处需注意。如本题中点 $C,D$ 会落在 $Q$ 同侧或异侧，这就是需要讨论的，此外 $k=1$ 是上述两种情况的分界点，此时不存在点 $C,D$ ，需额外注意。但除了一些分类讨论的考虑外，本题的计算量其实不麻烦。

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24 2024.12.12 2025届T8第一次联考——【自测】108

【总结】gym 声称要晚自习回家做试卷，于是陪一张，大败而归了。

选择写了 $40min$ ，填空写了 $10min$ 。T8 算了半天发现题目里的选择是方程的四个解，不知道咋选了。 T14 又卡住了，做了会感觉错了但只好 skip ，其他题做起来比较顺。 T15 写了 $10min$ ，第一题就感觉我的方法计算量好像有点小大。 T16 写了 $15min$ ，但这题从头到尾思路都很清晰，就算的慢了点。好在之前做第 $21$ 张试卷的时候做到了这个题型，不然初见可能又会跑偏。 T17 真是神人了，第一问就求了 $3$ 次导，第二问隐零点盯了会也不知道咋说明正负，只好扔了点部分跑了。于是在还剩 $30min$ 时开 T18 ，第一问看懵了，不太会做。跑过去先把 T19(1) 一眼了，回过来算了半天，发现可以硬算算出。此时还剩下 $10min$ 做 (2) 猜测 $OQ$ 和 $MN$ 垂直，于是先算了 $MN$ 的中垂线，结果发现不过原点，又猜测符合第二定义，然后就不知道咋办了，遗憾结束。

自批。 T5 想到反例了，但考场上当时太着急了给充分必要选反了。 T11 的 $C$ 居然是对的，我找了很久反例也没找到。T8 和 T14 都错了，意料之内。T15(2) 果不其然做麻烦了，但标答的方法也确实感觉不太常规。 T17(1) 又写麻烦了，这不是一眼单调性我咋考场上没看出来，呃呃。 (2) 的隐零点原来很简单，硬要说考场上也想了这样去做，但又因为想先往下做所以搁置了，哎。 T18(1) 标答给的方法有点太简便了，呃，我还忘记了说明，扣了点步骤分。 (2) 要算 $CM$ 和 $CN$ 的中垂线然后同构来做，考场上也这么想了，但已经没时间做了，感觉是被猜测过原点给毁了，有点不应该。 T19 一看咋是信竞经典题啊，感觉不能再典，呃，但考场上又在死磕解几，来不及做，也没办法。

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25 2024.12.16 2025届杭州一模——【自测】135

【总结】考前想给自己抗压训练的，没想到咋是信心卷。

做得挺顺的，就记一下时间节点吧。第 $10min$ 写完单选，第 $15min$ 写完多选，第 $25min$ skip了 T14 开始做大题，最快的一集。第 $35min$ 写完 T15 ，第 $45min$ 写完 T16 ，第 $60min$ 写完 T17 ，这几题基本没怎么卡，比较顺。然后写了 $30min$ 的 T18(1)(2) ，(3) 尝试了一下不会。开T19 ，又写了 $15min$ 过了 (1)(2) ，回过去补 T14 。写完 T14 还有 $5min$ ，把 T19(3) 的上界写出来了。

对答案，发现 T8 错了，没注意到恒成立，共零点等问题，做得草率了点，其实不难。T15 对了，原来和我想的一样，考场上这题花了挺长时间的，结果还是不如大胆猜想。 T17 只要想到凑不等号方向和题干的 $H(X)$ ，其实还是很简单的。 T18(2) 做麻烦了，我做到最后的时候其实发现了不用很麻烦的讨论，做导数之前还是应该先尝试观察一些性质。 T18(3) 是无趣的切割线放缩裸题，但我已经忘了也没想到，呃呃，这里再复习一下这些不会考的烂套路吧。T19(2) 写的和标答差不多，其实还是挺经典的。 (3) 做的时间太短了，多给我 $10min$ 应该就够都写出来了，因为下界无非就是注意到每个数至少出现一次与 $4^n$ 产生的贡献，此外通过调整法可以说明取遍上下界内的所有值，不难。

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26 2024.12.29 2025届G4联考（苏锡常盐）——【限时】114

【总结】质量很高的一张试卷，做得并不算太好，但考场上发挥能到这样也还算不错了吧。

T11 考察了若干需要注意到的几何性质，如果能较好观察到的话，本题将很简单，比较有初中的圆的性质的感觉。 T13 切记表面积要算全啊，呃呃，想到了，但考场最后忘记乘四了，白给。 T14 根据题意不难发现 $a$ 是唯一定值，然后就很好做了。

T15 简单题，注意在已知 $b-c=1$ 和 $a=\frac{\sqrt3}{2}bc$ 和余弦定理 $a^2=b^2+c^2-bc$ 时，可以直接配凑出 $a^2=(b-c)^2+bc$ ，解二次方程，而不硬算解四次方程，虽然也比较好解，但要是多搞几个根就老实了。被 qy 锐评，这样就是做题经验不够。

T16 因为建系乱建被骂了，呃，注意用现成的直角啊！事实证明没记到心里去，因为下一张卷子以同样的方式错误地建了一次系，哎。

T17(1) 是通过几何性质注意到动点轨迹是个椭圆，貌似这个比 T8 的要好注意到，可我这里同样是上来先算了一通发现不行，唐了。

T18(2) 就不会，但其实思路很简单啊！对于 $\lambda T_n\le A\le \mu T_n$ 恒成立求 $\lambda$ 和 $\mu$ 范围的问题，应当要考虑两边同除 $T_n$ ，研究单一函数的最值，这样就好做了。同时注意到这里的 $A$ 中带有 $(-1)^n$ ，故而最大最小值其实可以根据奇偶性分别讨论，进一步减小了计算量。总不能像我考场上一样两边各自讨论奇偶性然后压根不知道怎么办啊，哎，这真是做题经验不足。(3) 的话，呃呃，考场上怎么把一个 $\frac{\pi}{4}$ 当成了 $\frac{\pi}{2}$ 去做啊！真逆天了！好端端一个裂项啊！

T19(2)(i) 能忍住不写趋向也是神人了，爽写 $4$ 个趋向，其他的随便吧。 (ii) 需要注意到 $pr=1$ ，于是秒了，除此之外还有极值点偏移的做法。感觉其实这题作为 T19 出得挺差劲的。

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27 2024.12.31 2025届湖北腾云联盟12月联考——【练习】140

【总结】质量实在太低了。在两周里分了两天写了。感觉很没价值，以后不做这种题了。以及由于是年末了，给自己一点信心，所以往高了打了一点，就这样吧。

小题没有任何一点不会的成分，但填空最后一空的方程解错了， -3 。 T15,16 简单题略过。 T17 立几，不难，但各种东西略有点烦，注意建系的时候找现成的直角，不要随便建系，不是，这才过了两天就又犯了和上一张试卷里一样的建系的错误，真昏头了。 T18 解几(3) 全卷唯一不会的题，还得学啊。思路是利用抛物线消参通过纵坐标以相似的结构得到定点，挺有趣的。 T19 缝合的垃圾题。(2) 抄了今年 $10$ 月天域的单选压轴，本来这点就很冷门，而且还不适合做大题，难评。 (3) 抄了上半年的一道原题，呃，就是推推式子，除了比较烦以外没啥难度，鉴于全卷都比较简单，所以考场上应该也不会有啥问题。

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2025

2025 Jan

28 2025.1.5 2025届湖南九校联盟第一次联考——【练习】117

【总结】限时的时候把 T6,T14,T19 题换了。 T6 又是相关系数的向量意义的原题，逆天。 T14 考场错了，呃，唐唐的。 T19 套路题，但没说清楚，和杭州一模 T19 和原试卷的 T19 是一个套路的。计分还是按照原卷子记吧，单独做了一下 T6,T14,T19 。

考场上犯了点唐错误，T13 把倾斜角搞错了，T15 面积代值的时候写错了，T18(2) 没注意到垂直关系。

T11 并非难题，其实只要把图画出来之后很好做，可惜考场上没进一步做下去了。

T18(2) 并非难题，注意到垂直关系之后，就一下子做完了。 (3) 则需要利用垂直和两角和的公式硬算，注意到正切最大的时候也是正弦最大的时候，于是也不是很难，本题需要的注意力比较多。

T19(2) 注意说明时要证出 $a_1=1$ ，实际上只要考虑 $a_k$ 要满足性质 $P$ 即可说明。而 (3) 则麻烦了不少，套路实际上还是一样的。但需要先根据 $a_k$ 和 (2) 中结论给出关系，其次再根据 $a_{k-1}$ 做类似操作，然后将得到的两个关系作比即可。稍显繁琐，且需要一定的严谨性。

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29 2025.1.6 2024届凉学长年度试题——【练习】未计分

【总结】懒得一道一道去搜评分细则了，再加上本来这张试卷就是好题精选，不是严格意义上的试卷，于是不计分。题目挺难的，考前上强度了。整张卷子对一些基本性质的熟练运用要求较高，对基本不等式的运用要求较高，同时对注意力的要求极高。题外话，订正的途中鬼使神差看到了24届广东一模T18，发现恰好是之前限时考到但不会做的题，这下弄懂了，不期而遇，遂记之。

T1 考虑 $S_n$ 单调递增的性质就同时得出两个重要性质，即 $d\ge0$ 和 $a_2>0$ ，于是就可以做了。T4 考虑直接设出题目要求的函数并求导，根据图像很容易发现单调性。T5 考虑 $\sin C= \sin(A+B)$ ，实际上很好做，但执迷于算边所以没做出来。T6 考虑向量点乘的投影的性质即可。T7 考虑有直角，所以设角度就可以都算出来，不过我是直接用特殊情况还把答案回代进去检验的，绷。T8 依稀记得高一的时候做过类似的题就不会，呃呃，这次也不会。先作出二面角，根据三垂线定理发现 $P$ 和 $C$ 在 $AB$ 上的垂线为同一点 $Q$ ，将求角度用余弦定理转化为求边，再利用基本不等式想到“一”的代换构造齐次式算出来。

T10 好题，第一次见到，冷静分析大小关系和正负情况即可。 T11 中值得注意的是高中范围内的“单调”认为是“严格单调”，于是通过找值举反例即可。

T13 经典题，考虑棱台内最大内切球是切于底面还是切于侧面，取较小值即可。 T14 绷，误以为是对称的直接算出定值，其实并非对称，警钟长鸣。考虑 $k_2<0$ ，故 $x_2$ 必是中间点。大胆设出三点之间的水平间隔，表示出 $k_1,k_3$ ，随后发现式子很简洁，基本不等式即可。

T15 不难发现单调，于是夹出答案即可。T16 真逆天了，平行六面体里求线面角居然还能基底做，算出来还是根号下三位数，而且还是对的，怎么想都很离谱，意志太坚定了呃呃。实际上建系的话计算量能少很多，注意到 $A_1O$ 会于底面垂直，于是建系就能算，考虑图形很对称，所以其实不难发现。考场上还是得冷静点，千万不能头脑一热真的拿基底做啊，纯纯骗人的。

T17(2) 其实没那么难，考虑根据题目要证结论反推，发现实际上只要证明 $\sin C_n<\frac{\sqrt3}{2}$ ，考虑转化到证明 $\cos C_n$ ，于是就能用余弦定理表示，再进一步地将 $c$ 用 $\frac{a_n+b_n}{2}$ 代入构造齐次式，基本不等式即可。对，和 T8 一个思路。 (3) 继续考虑从结论反推，发现需要证明 $\sin C_n$ 递增，也即 $\cos C_n$ 递减。注意到利用 $a_n^2+b_n^2=(a_n+b_n)^2-2a_nb_n$ 代换，能使得 $\cos C_n$ 仅用 $a_nb_n$ 和常数 $c$ 表示，而根据题目已知信息实际上可以直接求解出 $a_n$ 和 $b_n$ 通项，直接乘起来发现不难证明之。本题正着做压根不可能，所以得大胆从题目结论发推，这样就好想多了，虽然我还是没想到，唐。

T18(1) 这次不需要考虑几何性质，直接设坐标算就好。 (2)① 是典中典抛物线结论，但我是爆算做的，计算量着实有点大，更好的做法是同构或者几何法，很简单。 ② 首先要考虑利用平行线之间距离处处相等转化面积，然后发挥惊人的注意力，注意到代入 $2=\frac{y_3+y_4}{2}$ 能使得答案变得较为优美，此时根据题目条件用个基本不等式就好了，对注意力考察难度较大。凉学长自称有个很巧妙的几何法，还没学，以后要是想到了再看吧。

T19 二维平面随机游走。 (2)(i) 列出 $p_{2n}$ 最初的式子并不困难，组合意义还是较为明显的。但需要考虑利用题目中的条件和惊人的注意力，直接凑出两个组合数，就能做了，呃，注意力惊人。 (ii) 也很油麦，首先考虑利用题目已知信息，对 $p_{2n}$ 进行放缩，正好分子用左边，分母用右边，就能得到 $p_{2n}>\frac{1}{6n}$ 。但此时要证明对 $p_{2n}$ 求和将存在下确界，不难发现是发散的，考虑要放缩，于是又用惊人的注意力注意到可以切线放缩，找到了一个下确界。呃，感觉让高中生做下确界的证明题，且不给任何引导，考场上能较优美做出来的可能性也不大。

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30 2025.1.8 2025届八省联考——【练习】143

【总结】从考完的第二天开始做，到今天才做完。呃，油麦，小题没区分度，大题区分度可能仅在于 T18 和 T19 的计算了。T18 的光学性质可以尝试用斜率，倒角公式证明之，但不愿意这么做的话，可以硬算。硬算的技巧在于因式分解，实际上很好看出来答案，不妨以 $y_0$ 为主元，把两个 $y_0=0$ 的特殊点代入能解出两个 $x_0$ ，这样就好做了，甚至还可以顺手猜一下根，总之可以配凑出答案。T19 呃，就嗯算呗。

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31 2025.1.13 2025届苏州高三上期末——【考试】115

【总结】经典期末考出全学期最低分。总之就是要加训，多留些时间。

$15min$ 开多选，$35min$ 开填空，$48min$ 开T15，$60min$ 开T16，$73min$ 开 T17，$90min$ 开T18，$115min$ 开T19。老实说首先为一些简单题做了些不必要的验算，还犯了不少低级错误，整体时间上也没能把控好，挺失败的。尤其是这张试卷并不难，所以感觉留给最后两题的时间应该要更多一点才能更理性一点发挥。

T3 错了，概念性的东西理解的不是很透彻。 $\vec{a}=\lambda\vec{b}(\lambda\in\mathbb{R})$ 是 $\vec{a},\vec{b}$ 共线的充分不必要条件。因为零向量和任意向量共线。后推前时，若 $\vec{a}\neq\vec{0}$ 且 $\vec{b}=\vec{0}$ ，则满足 $\vec{a},\vec{b}$ 共线，但不满足 $\vec{a}=\lambda\vec{b}(\lambda\in\mathbb{R})$ 。

T10 $\chi^2>\alpha$ ，则认为 $H_0$ 不成立，有关；反之，则认为 $H_0$ 成立，无关。T14 新学一个二级结论，一条直线截双曲线和渐进线的两个中点重合，原因是直线与双曲线方程或渐进线方程联立时，与 $x_1+x_2$ 相关的项的系数是相同的。

T18 不难啊，但我犯病了。注意到 $\frac{1}{b_n}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}$ ，要用 $\frac{2}{n+1}<\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}<\frac{2}{n}$ 来缩范围。

T19 好题。 (3) 需要注意到条件恰与 (2) 的条件相似，故而要猜想 (2) 中的特殊性质在 (3) 中也成立。于是尝试证明之。进一步，转化面积的比值为边之比，然后用余弦定理代入勾股定理凑出所需边之比，再基本不等式即可。对注意力要求比较高，猜到了之后才有下一步。

【传送门】无。

32 2025.1.17 2025届湖北云学联盟12月联考——【练习】106

【总结】简单题狂错，压轴题不会，唐唐的。

单选错了一车唐题，没啥好记的。T8 需要知道一个结论：若一个平面截长方体，使得长方体的面积被平分，则该平面一定过长方体的中心。然后不妨考虑过各条边中点的六边形即是所需截面，再用二面角的面积射影就好了。属于是复习了两个二级结论。

T17 的解三角形需要解决形如 $\frac{ab}{a+b}$ 的最值问题，可以通过余弦定理等关系化角用基本不等式来做，不难。本题还可以化角，正好下一张试卷又遇到了，详见下一张试卷。

T18 还不错的面积转化，感觉不难，只是我没想到。首先对题目所求面积进行转化，变成差值的形式。另外因为 $A,Q$ 关于原点对称，且 $A,B$ 为椭圆的左右顶点，所以 $AMQN$ 是平行四边形。再根据第一问对斜率关系给出的铺垫，解出未知量即可。

T19 之前某次周测做过了，当时也没好好记，还是不太会。(2) 需要当心在 $a_{10}+a_{11}$ 处是特殊情况。(3) 要证明是等差数列，考虑转化为等差中项的形式，然后把 $2-$ 可表数列前后各移一位之后与 $3-$ 可表数列的关系作差，能发现正好就是要求的等差中项。须注意此时仅仅从第三项开始是等差数列。不过好在可以利用 $3-$ 可表数列的条件推出 $a_2$ 和 $a_1$ 也满足该等差数列的形式，于是做好了。

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33 2025.1.18 2025届哈三中10月月考——【练习】133

【总结】立体几何浓度超标，但实际上难度不大的一张试卷，中档题居多。如果限时的话可能会因为计算量太大没这个分，但不限时的话其实基本都是可做题。大题比较简单，小题中的几道立几比较有意思，对外接球和内切球的考察还挺细致的。

值得一提的是，上一张试卷的解三角形中是求最值，故而可以化边做速通，而本试卷的解三角形题型几乎一致，但转变为了求取值范围，故而只可以化角做。化角的做法完全一样。对于形如： $\frac{\sin(2B-\frac{\pi}{6})}{\sin(B+\frac{\pi}{6})}$ 的式子，令 $\theta=B+\frac{\pi}{6}$ ，则很巧妙地可以将其化为 $\frac{\sin(2\theta- \frac{\pi}{2})}{\sin\theta}=\frac{-\cos 2\theta}{\sin\theta}$ ，然后用 $\sin\theta$ 展开二倍角，至此二元化一元，很容易求出取值范围了。没想到连着两天碰到了同一个 trick ，特别记录一下。

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34 2025.1.19 2025届常州高三上期末——【练习】未计分

【总结】呃，很简单的一张试卷，但中间犯了点错改了改，就不计分了。

T2 需注意到等比数列的公比不为 $0$ 。T14 要注意几何性质用相似来做，否则直接解三角形的计算量太大了。 T16(2) 的得分情况用 (1) 算出的分布列来算啊，我在干嘛。T19 的标答直接认为共零点了，那我觉得这题和没出有啥区别，纯粹考练个极值点偏移板子吗。

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35 2025.1.20 2025届南盐高三上期末——【练习】未计分

【总结】课上分段限时做的。不难，但有好多好唐的错误啊，也不计分了。

T7 考虑直接用公式去做就好了，用反面。 T11 不难发现 $x^3+y^3\le x^2+y^2$ 就可以了。 T18(2) 直接设出对称中心，然后利用定义来解恒成立问题， (3) 考虑先两边同时取对数。

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36 2025.1.21 2025届佛山一模——【练习】133

【总结】据说难度很高，有很多中档题。但没限时做，且事前其实看过了大致的内容是啥，所以就当练习一路做下去发现还好，可能丧失了限时做的味道了吧。

T8 二级结论题：直线与平面所成角小于直线与平面内任一直线所成角，平面与平面所成角大于平面与平面内任一直线所成角。T13 被我逃课过了，因为发现直接用正切不可做，故而切化弦，然后综合运用正弦定理和余弦定理即可。但其实直接找极端情况也能选出答案吧。T14 需要注意到：双曲线焦点到其渐近线的距离是 $b$ ，然后算就好了。

大题都挺常规的，顺着做就行了。 T15 很容易想到设坐标解方程硬算，T17 很容易想到分别整理然后换个元直接做就好了，T18 很容易注意到角度性质，同样又是解方程算出来就好了，T19 可做部分也很显然。

T19 后续被 lym 锐评为很典，但我不会啊，数论，没注意到，二进制，也没注意到。

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2025 Feb

37 2025.2.7 2025届江苏新高考基地学校第一次大联考——【自测】127

【总结】有时间就自己限了一下整卷，其实发挥得不好，慢慢调整吧。下半学期第一张，总体还算满意。

单选 T6 实在不会，skip 了，T8 又卡了一下，最后 T6,8 都对了，其实有运气成分。$24min$ 开多选，属实慢了，但 T9 又卡了，一开始只选了 B ，反复算都觉得其他选项对了，其实是脑子完全不清醒，每次都算对了，后来在最后 $15min$ 的时候回过来又算了一下，选对了。 T10 一眼是双曲正余弦函数，直接糊了上去，结果写反了，直接错了，呃呃，好好审题啊！ $37min$ 开填空。填空赶进度做得很快，结果 T13 做麻烦了，而且算错了，多了负号。T14 太着急了草草过去了，这两题都错了，也是前面做得太慢太差的恶果。 $46min$ 开 T15 ， $51min$ 开 T16 ， $64min$ 开 T17 ， $81min$ 开 T18 ， $100min$ 开 T19 。 T17 没注意到题目凑好的数据，拆开来还写了一下趋向，缩到了一个小范围来证，其实是麻烦了，给自己扣了 $2$ 分步骤分。 T18 挺简单的，虽然中途 (2) 算错了，卡了一会。 T19 就完全在抢时间了， (2) 其实设得有问题，但后续时间也不够，其实也算不下去了。

T6 好题，需要利用多组关系消元。 T13 考虑把余弦化正弦然后代换进去，不要硬做。 T14 直接求导分析最小值就好了，不难，别乱放缩。 T19(3) 直接比式换元就行。

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38 2025.2.8 2025届长沙高三上期末——【练习】116

【总结】呃，课上限时做了点，课下作业。

T7 考虑作出焦点和准线，找三角形的不等关系和梯形中位线即可。 T11 考虑最小公倍数一定需要时有理数倍，故 D 选项的周期是无理数的时候取不到最小公倍数的周期。 T14 很牛啊，先代入正余弦定理得到 $\frac{10\sin C}{3(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})-4\cos C}$ ，用基本不等式处理 $a,b$ 得到上式 $\le\frac{10\sin C}{6-4\cos C}=\frac{5\sin C}{3-2\cos C}$ ，此时用斜率的几何意义即可，除此以外，还可以万能公式化成齐次式，或者用判别式法。

T18 两条中垂线嗯算，或者同构，反设啊反设。 T19(2) 是个简单的二进制问题，但证明不太好说。我的做法是直接拿二进制去论述在若存在两个不成立。而答案则写得较为符合高中思维且简便些，其做法是从最高位开始，论述该位元素是否属于 $A\bigcap B$ 或只属于其中之一，一步步递推下去。而 T19(3) 就幽默很多了，题目给的范围非常的宽。首先注意到 $0<q<1$ ，故而若干个 $q$ 的幂次相加显然小于幂次较小的最高位。于是问题其实就变成了讨论最极限情况下， $(\sum S_{A_i})_{max}=q^{t_1}(1+q+\cdots+q^{n-1})$ ，而 $(S_{A_1})_{min}=q^{t_1}$ ，故不等号左边是等比数列求和，必然小于 $\frac{1}{1-q}$ ，此时直接解不等式就发现恒成立了，感觉真简单吧。

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39 2025.2.10 2025届济南高三上期末——【练习】未计分

【总结】强度太大，呃，本来小题还是计分的，但大题又没评分细则，又很抽象，呃，边看答案边做了。

T6 $y=e^x-1$ 和 $y=\sin x$ 显然在 $x>0$ 之后没交点，根据 $x=0$ 处切线就能看出来。 T8 注意到最大值在 $x_0$ 处是闭区间，所以 $x_0$ 必须过最高点，也即 $M$ 是定值，三角函数最大值，然后还能根据 $M+m=1$ 巧合的发现 $m$ 就是三角函数最小值，此时就只需要右边界能过最低点即可，凑得还挺好。 T10 警钟长鸣啊，刚讲过积分积回去要考虑常数，别想当然认为相减就不需要了。实际上代入特殊值，看看导函数和原函数的图像去做就可以了。 T11C 是费马点，但这题挺简单的。 T14 和南盐一模的 T14 基本没区别。

T15 看到四点共面，想到可以证明线线平行，于是找两个平行四边形就行。最阳间的一道大题。 T16(2) 考虑建系，于是利用 $AM$ 长度获得一个 $b,c$ 之间的方程。其实可以直接因式分解解出来，但更简单的是令 $c=1$ ，赋值之后都是数字就更加好做了，自此就很方便了。记得利用重心的几何性质快速算出需要的量。 T17 对数单身狗，千万别不相信啊，不相信就算不出。 T18 神人了这个计算量，考场上能算得出来我吃。肯定会想到要面积转化，利用中点的几何性质最终能将问题转化为动点 $S$ 到定直线 $MN$ 的距离最大值。因为 $S$ 是中点，所以可以利用韦达定理算出坐标，然后代入点到直线距离，然后嗯算。在下方传送门里的讲解中有用第三定义注意到的更优雅的几何性质， $S$ 的轨迹也是一个椭圆，且恰好 $MN$ 是该椭圆切线，且 $O,R$ 关于椭圆的中心是对称的，那么不难想到 $S$ 与 $O$ 重合时距离最短。注意力太惊人了。

T19 很有趣的一题。 (1) 考虑二项式定理展开式的常规操作，代特殊值，于是代入 $x=1$ 就变成了很简单的数列问题。 (2) 根据进制表示其实就知道若干项 $3^i$ 相加必然不会是 $3^k$ ，故而可以根据类似二项式定理的组合意义，发现 $x_n=C^1_n+\cdots+C^n_n=2^n-1$ ，特别地，这里少一是因为定义里 $C^0_n$ 的地方不算在内。但这么写其实不太好，可以用数学归纳法，毕竟已经看出结论了。然后用数学归纳法发现不会产生同类项，也即说明成立了。

（3）则更是缝合题，考虑对于题目给出的三个式子分别分析。第一个式子的分母很简单，代 $x=1$ 就行，分子则需要看出是求导一次的式子，那么只要对题干定义中的左边求导。这里有个求导技巧，即 $(uv)'=u'v+uv' $ 、 $(uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'$ ……以此类推。于是可以得到 $a_{n+1}\ge S_n+1$ 。第二个式子不难发现是 $x$ 的每一前的系数都不为 $0$ ，而利用类似（2）的证明方法能发现不存在同类项，此时再神来一笔地注意到一定有 $a_{n+1}\le S_n+1$ 。居然直接夹出了 $a_{n+1}$ 和 $S_n$ 的关系，也就能算出通项了。而此时第三个式子不难发现是裂项。

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40 2025.2.11 2025届L16联盟1月测试——【练习】108

【总结】难度过大，呃呃。

小题计算量挺大的，但只错了 T14 ，这个真不会，其他的大多又算又猜还能对一下。

T16 错了，呃呃。虽然我第一眼觉得是同构，但又后来没往同构去想，反而想靠两个不等式放缩，其实放出来的值也很怪，实际上同构一下就做完了。 T18 真的是神人计算量了，值得注意的是二面角是钝角，当然其实根据 (2) 的提示也能猜到。其次， (2) 做的时候对 $m$ 取值影响 $E$ 点位置理解错了，导致后面错光，虽然其实后面做得都好像很对。 T19 选了 B ，这个就不会了。其实想到了是要推导各两项之间的关系，这个时候就要想到让题目条件的式子右移一下，这样就好凑出隔两项了，然后再进一步去推导。后面太难了，不评了。

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41 2025.2.11 2025届潍坊高三上期末——【练习】未计分

【总结】感觉没啥区分度的卷子。课上限时做了一些，课下做了剩下的，呃课下参考了一下答案，就不计分了。

小题都很简单啊，除了 T14 的表述真的有点唐，被卡了一下。T15 如果发现 $X$ 是超几何分布并记得公式的话，就很好做，不然算得很麻烦。而 $Y$ 则需要考虑好的是最后一次和前面每次的概率是不同的，要特别地单独计算，此外计算量也不算小。T16(1) 不会证卡了好久，呃呃，看到交点交线就该想到是用线面平行截出线线平行。特别地， T16(2) 需要考虑点 $H$ 在线段 $BC$ 外，连答案都没考虑到，绷。T18 简单题，做得很顺，结果横纵坐标代反了，绷。

T19(3) 为了保证具有较为优良的性质，不妨设 $x_i$ 单调增，于是 $y_i$ 单调减。方便起见，我们当然希望可以直接将集合划分为前后两段，使得前一段就是 $B_1$ ，后一段就是 $B_2$ 。这一策略是有合理性的，显然前半段的 $X(B_1)$ 尽可能的小，且后半段的 $Y(B_2)$ 也尽可能的小，于是我们可以尝试证明之。首先，若 $x_1+\cdots+x_n\le\frac{n+1}{2}$ ，那么不妨取一个单元素集为 $B_2$ ，剩下的即是 $B_1$ 。若不满足，那么比如存在一个分界点，使 $x_1+\cdots+x_k\le \frac{n+1}{2}\le x_1+\cdots+x_k+x_{k+1}\le x_{k+1}$ 。在此基础上，我们考虑证明 $y_{k+1}+\cdots+y_{n}\le\frac{n+1}{2}$ ，将上面 $x_{k+1}$ 的范围带进去算，同时能得到一个基本不等式的式子，一算就发现恰好满足题目要求的范围。于是整体的思路其实还是较为流畅的。

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42 2025.2.13 2025届宁波一模——【自测】117

【总结】呃，强度还挺大的感觉。哎，主要不该失分的地方失分太多了，于是烂了。

拿到卷子先看了眼 T15 立几，做了 $7min$ 开始选择。 $24min$ 开多选，skip了 T11 的 CD ， $32min$ 开填空。 $40min$ 顺利开 T16 ，小题做得快结果就在这里还回去了，而且还没做对，该检查的，服了。 $58min$ 开 T17， $73min$ 开 T18，算到 (2) 感觉很抽象算了会又在 $87min$ 先做 T19 去了。做完 (1)(2) 回过去 $98min$ 硬算把 (2) 写完了，还有 $5min$ 去写了一下 T19（3）。

呃，烂了。小题还行，就 T11 漏选了 D ，情理之中。 T16 犯了很低级的错误，拿 $T_{n+1}-T_n$ 的值当成了 $a_nb_n$ ，服了，于是全错，而且浪费了很多时间算得很奇怪，以后一定要记得拿 $T_n-T_{n-1}$ 而且遇到情况不对，验算的时候记得得重新开始啊。 T17 漏了点步骤，扣 $3$ 分吧。 T18 呃，以为算对了，其实中间导错了，于是也是白做。其实考场上有考虑过平方出来做的，以为会很复杂，其实完全不复杂，以后得多尝试一下，毕竟直接对原函数硬导显然不太合理。

T11 的 C 是个挺复杂的三角去算最值发现不成立， D 是一个比较宽松的放缩。 T18 平方之后计算量相对会小很多，但不可避免地， (3) 需要求 $5$ 次导，绷，这种纯粹神人题目，没啥评价的。 T19 脑筋急转弯题，绷。其实挺简单的，就是想到分几种情况讨论一下就好，完全不必要去算具体的值，定性分析就足够了。

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43 2025.2.14 2025届绍兴一模——【练习】115

【总结】很简单的试卷，但做烂了。还是做不到吗。

T6 沿轴线切割算两倍会很好算。T7 一个个带进去认真算一下不就好了，式子写全啊。 T10 里所谓的“平移”还包括了上下平移。 T11 是其实就是用空间向量的方式把各个角度都表示出来，不难想到用柯西不等式算一下最值就好了。 T14 很唐的计数啊，想想清楚。

T15 算错了。 T16 不就是昨天的 T18 弱化版吗，注意 $x_0$ 有范围啊，看这个范围就能发现需要 $f(1)<0$ 。 T18 有点意思，遇到平方项要考虑开方之后有正负，于是需要分两个去算，还是挺麻烦的。但是有很简介优美的解法，注意到 $x_G$ 和 $m$ 满足一个方程，且其中 $m$ 始终是二次的，故而不妨将其整理为 $m^2=f(x_G)$ ，而 $m^2\ge0$ ，从而解出 $x_G$ 的范围。T19 还行。 (2) 可以用递推的方式去做，或者按照答案观察到的性质。 (3) 同样也可以用递推的方式去做，可以分奇偶项讨论，但这会比较麻烦。较为方便的，是根据 $\vec{m_n}$ 满足的形式写出其 $g(\vec{m_n})$ ，可以先考虑满足题中不等式成立的必要条件解出 $n=10$ ，再代入验证。

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44 2025.2.14 2025届无锡高三上期末——【练习】未计分

【总结】课上限时做了不少，课下做完了。貌似挺简单，但又犯了一车唐错误，不计分了。

唯一想记的只有T19， $\tan{b_n}=\frac{1}{n^2+n+1}=\frac{n+1-n}{1+n(n+1)}$ ，不妨记 $\tan{c_n}=n$ ，则 $\tan{b_n}=\tan{(c_{n+1}-c_n)}$ 。于是做完了。

【传送门】无。

45 2025.2.15 2025届温州一模——【自测】115

【总结】呃，今天没喝咖啡困得要死就硬限时，我也是勇气可嘉。顺带一提这个有评分细则，这也太松了吧。

没记录时间点，就单纯来复盘一下表现吧。 T7 莫名其妙错了，做法完全对，但数出来个数就没在选项里，而且还算了几遍来着都没发现有问题，离谱。 T8 不会做，没看出来可以区分成两种情况。 T9 C 以为是不可以的，实则不然。 T11 把 B 算了出来是对的？？？不知道我怎么做到的，这个函数之前做过两次好像都错了，这是第三次。 T13 想当然错了。

T15，16 都很速通，此时还以为是从未有如此美妙的结局，呃呃，结果 T17 被干碎了。 (1) 想了一会发现只好做个垂直。 (2) 死活不会啊，几何法不知道平面角在哪里，斟酌了好久还是不知道怎么办，直接硬建系了。哎，其实感觉自己不该多想的，按照以往就是建系直接上了，这次多想几何法就是纯粹在浪费时间。但建系没设角度，设的长度有两个未知量也做不了，最后想到有那么多几何关系可以算就嗯算了一个答案出来。此时心态其实已经崩了，做这题做了 $30min$ 。还在前面时间充裕，还有 $40min$ 去看后两题。 T18 感觉好眼熟啊，有次周测的 T18 就是差不多的，可惜当初就草草订正了也不咋会。 (2) 首先不难发现 $h'(0)=0$ ，然后类似端点效应再导一下，先排除了 $a\ge6$ 的可能，这个时候 skip 了做 T19。 T19 (2) 感觉很显然就是容斥，于是想到分组分为 $(1,2n),(2,2n-1),\cdots,(n,n+1),2n+1$ 共 $n+1$ 组，但这样分组不会说明不取 $2n+1$ 的情况，绷。想了会还是不会有回过去做 T18 ，分析了一下发现需要 $a>4$ ，但具体中间 $4<a<6$ 怎么成立的也不会说。最后几分钟回过去看了眼 T17 发现算错了，最后被我改对了。

貌似仅几次做题小题都做得烂了，但考完却发现也不难啊，哎。其实事后来看感觉大题的发挥已经很极限了，也是没谁了呃呃。

T8 由于骰子有 $6$ 个面，且怎么骰都不会使得骰子退到起点之后，且始终都可以到达终点。那么考虑区分为两种情况即可，即达到终点和未到达终点。故而每次有 $\frac{5}{6}$ 的概率未到达终点，而 $\frac{1}{6}$ 的概率到达终点，求期望即可。此时这个模型其实和潍坊期末里 T17 一样，但难点就在于抽象出这个模型。

T9 两个变量存在相关关系指，能用一个具体的函数拟合出图像。T13 不规则的几何体算体积一定要割补啊。

T17 以后就别乱几何法了，老实一点就建系吧，我会几何法吗我请问了。记得找几何关系设角度啊！ T18 写出来的实际是对的，因为题目本身就不好说明这个东西，所以用趋向也无所谓了。

T19 太高深了。 (2) 很容易看出答案，之后考虑奇偶性去说明。 (3) 不妨先构造出一组合法解，发现 $k=2^{2n}$ ，然后考虑证明之。

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46 2025.2.19 2025届湖丽衢一模——【练习】127

【总结】质量好低，绷。

T19 倒是有点太牛了，看都看不懂。 (2) 可以这样考虑，不妨整理为关于 $t$ 的一元二次方程，则需要解判别式来判断是否有解。根据提示猜想出 $E$ 的方程，并用类似的过程证明之。 (3) 逆天计算量。

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47 2025.2.20 2025届金华十校一模——【练习】141

【总结】质量一般，感觉没区分度。

T14 在圆曲里看到中点弦，看到斜率就该想到第三定义啊。 T19 呃，就是反证法构造矛盾。

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48 2025.2.21 2025届深圳一模——【练习】120

【总结】改编题大王，呃呃，没那么难，但错光光。

T9 决定系数 $R^2$ 越大，即越接近 $1$ ，残差平方和越小，拟合效果越好。相关系数 $r$ 的绝对值越大，越接近 $1$ ，相关性越强。 T11 一眼能看出是第三定义，于是可以计算或者画张图发现是椭圆，后面的可以设拿参数方程设出 $P$ 点坐标算就好了。 T14 脑筋急转弯。

T18 挺好的题，首先根据对称性发现 $y_M=0$ ，同时也很好算出 $x_M=-2$ 。其次需要注意到 $x$ 轴是 $∠AMB$ 的角平分线，故而内心 $I$ 落在 $x$ 轴上，此时硬算就好了，消参算范围。 T19(3) 范围很宽松啊，其实怎么做都可以。只要说明 $a_n\neq0$ 就行，剩下的可以反证。可以记 $a_n$ 中的最大值为 $a_k<2025$ ，那么取 $k$ 代入定义式，就能导出矛盾说明 $a_n$ 发散。

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49 2025.2.23 2024届南盐一模——【练习】未计分

【总结】小题全对，呃。 T15 花了 $45min$ ，道心破碎了直接。这里拿角算就是熟悉的三角值很好算啊，拿边算计算量又大又做不出。 T18 需要知道：圆周角的角度是圆心角的一半。 T19(2) 直接小邻域。

T19(3) 是好题。首先，要考虑凑出题目中 $a_n$ 的关系式，考虑用到 (2) 中证明的结论放缩，于是取 $a=\frac{3}{k(k+1)},x=\frac{\pi}{6}$ ，此时满足 $\cos(ax)$ 部分就是 $a_n$ 中需要的，而 $ax\sin x$ 变成了含有 $\frac{1}{k(k+1)}$ 的常数，可以求和时可以裂项相消。于是得到 $a_n>n-1$ 。而又因为 $\cos x\le 1$ ，故 $a_n<n$ ，于是得到了 $n-1<a_n<n$ 。于是不难发现在 $m<x<2m$ 的条件下，共有 $m$ 个 $a_m$ 在这个区间内。

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50 2025.2.25 2021届武汉九调——【练习】136

【总结】题目都挺简单的其实，小题都是不该错的，大题也不难。T19(2) 和25届小G4的压轴完全就是一道题，难绷，这下看懂了。若 $f(x)=\ln x-\frac{x^2+1}{x^2-1}$ 有零点 $x_1,x_2$ ，那么 $x_1 x_2=1$ 。

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51 2025.2.26 2025届台州一模——【练习】136

【总结】呃，有难度也有简单题，感觉区分度还挺高的，唯一的瑕疵可能是 T19 过于简单。

T8 概率好题。首先考虑在 $16$ 个位置上放四个人是 $A_{16}^4$ ，其次分子的可能数分步原理一步一步推吧，描述不清。 T10 大分类讨论题，不管怎么看都是硬讨论拆绝对值比较直观。 T11 线性规划好题啊！真学到了。其实可以利用 A 中结论建三个垂直的基底减少计算量，但想不到的话就直接硬算也行。 T14 画图就好，作出题中直线距离为 $1$ 的两条直线，显然所求圆被夹在中间。

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52 2025.2.27 2025届南昌一模——【练习】132

【总结】又是张简单的简单，难的难。

T8 可以几何法，因为平行的几何性质挺显著的，但也可以硬算，因为角平分线同时也是切线。 T11 遇到这样的题要设 $Acos(\omega x)$ 来做。 T18 神人题目，这个计算量能算出来我吃，有 $3$ 种做法全都不会。法一硬算，注意到各种计算技巧来优化。法二注意到是圆，考虑圆和直线，椭圆和直线联立，得到两个关于 $A,B$ 两点的方程，这两个方程是同解方程，借此可以做，很新奇，第一次看到。法三几何法，感觉这个倒角好做的惊人，同样用一次圆周角的角度是圆心角的一半。 T19 很新奇的题啊有一说一，用二项式定理代入 $x=1,-1,i$ ，很牛，这里就符合了要求和 $4$ 相关的题目要求，因为 $i$ 的幂次的周期是 $4$ 。挺有趣的，学到了。我的想法是四个变量的马尔科夫链递推，呃，太麻烦了我觉得这样子有点夸张。

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2025 Mar

53 2025.3.1 2025届武汉二调——【自测】113

【总结】溜大了，虽然我都不会，但大家也都不会，所以好像还可以。演都不演了，其实我觉得这张试卷的大题安排挺逆天的。题目难度靠一些思维量和计算量堆砌。这个T18说白了考察点就在一个不算很复杂的思维上，然后猛加计算难度，那为啥不把这个换到前置位去呢，反倒是前置位立几和三角都很卡手，不如换个位置加强一下。或者给这个解几放到T18的位置去，看不懂这个解几有啥区分度，考察的东西要么是天赋哥直接默写了，要么我觉得算这种能算出来的也是神人了，区分度仅限于能不能看出这个直线吧。

T11 这个新定义考察不算很难，列几项看一下，规律很明显。 T14 很牛的立几动点，根据体积关系先找出 $Q$ 在两个端点情况下的特殊位置，然后确定直线做。 T16 不难发现第二问里的角实际上只是两维的向量，那么考虑挪到一个面里做，但发现这里 $\cos$ 压根算不了，故而要想到用 $\tan$ 算。 T17 解三角形，方法很多，主要是考虑好研究对象，避免冗余情况，这能减小很多复杂度。 T18 就很朴素， (1) 要想到剩下七个人是等价的所以直接均分了。 (2) 讨论。 (3) 则可以做的技巧一点，考虑划分是否遇到过 $A$ ，然后又考虑到剩下六个人等价，所以直接选就好了。

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54 2025.3.2 2025届淮宿徐连高三上期末——【限时】99

【总结】唐，做得比武汉二调还差。虽然做得差，但 qy 批的也真是神人，哈哈。

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55 2025.3.2 2024届武汉二调——【练习】134

【总结】做了一周，就跟着学校里布置的节奏写的，但基本都是自己做的，也算个分吧。

T8 ，有趣的立体几何和解几融合，这里由于已经自带了一个垂直的条件，所以过二次曲线上的点作垂线，发现直接就是一个二面角了，此时考虑余弦定理嗯算。 T11，有点复杂，但总体来说就是用这里奇函数的性质来做。 T14 初见杀，考虑设： $p_i$ 表示当前在第 $i$ 号仓，最终从第 $1$ 号仓的概率，解方程就行。

T16，我去，这个立体几何看了半天第一问啊，重要的是注意到 $PD=DE$ ，然后就想做取 $PD$ 就好了。T19(3) 类似端点效应，只不过这里不太一样。这里是 $f(x)$ 和 $g(x)=a^x$ 。若二者都单增，由于 $f(0)=g(0)$ ，那么当且仅当 $f'(0)=g'(0)$ 时才行，所以不难得到 $a$ 的值。下面考虑其他时候不成立，呃，就端点效应随便写写吧。

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56 2025.3.4 2024届广州一模——【练习】未计分

【总结】感觉一般吧。区分度不大。

T18(3) 需要注意到关于原点对称。T19(3) 可以二元化一元，其实和 OI 的优化做法很类似的。

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57 2025.3.9 2024届湖北八市3月联考——【练习】未计分

【总结】就记一下最后一题放缩吧。

$\frac{x}{\tan x}=\frac{x\cos x}{\sin x}\ge\frac{x(1-\frac{1}{2}x^2)}{x}=1-\frac{1}{2}x^2$ 。然后再裂项一下就好了。

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58 2025.3.10 2025届南通高三上期末——【练习】139

【总结】这个分数是高了不少的。因为有些题和yh对了一下然后改了，而且没限时。但感觉整体上难度还是正常的。

T19 是魔改的24年新二卷，这里需要考虑一下图形的对称性，其实就比较好做了。大胆地直接设 $An$ 去算坐标。

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59 2025.3.13 2025届温州1.5模——【练习】126

【总结】这个单选给我做不自信了。整体难度和区分度应该不大。

T8 考虑提一个 $a^x$ 出来，这样就好看了。 T19(2) 既然确定了 $n$ 是偶数，且有三角函数的性质，那为啥不直接代进去 $f(x+\frac{\pi}{2})$ 和 $\frac{\pi}{2}-x$ 呢，这样就能发现图像具有极其良好的性质，此时值域就好求了，还是要敢于尝试。 (3) 把 $n$ 当主元，那么不妨特殊到一般啊，先把 $n=1,2$ 的情况算了，然后 $n\ge3$ 的时候，因为 $\sin^nx+\cos^nx\le\sin^2x+\cos^2x$ ，所以其实已经算在 $n=2$ 里了。莫名其妙地就出来了，但实际上感觉思维过程还是挺难的。

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60 2025.3.13 2025届合肥一模——【练习】未计分

【总结】没绷住，一整张卷子就没有不会的题，感觉考场 $150$ 都是正常的，不记了，不值得。

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61 2025.3.14 2024届济南一模——【练习】未计分

【总结】烂。

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62 2025.3.16 2025届扬州高三上期末——【限时】131

【总结】毁了。全是简单题啊，但我错了点唐题。

【传送门】无。

63 2025.3.17 2024届苏锡常镇一模——【自测】137

【总结】晚自习第二节课限时了一下。做得很顺，一路做到解几才做了一个小时。一眼看出三点共线，但拿 $x_M$ 和 $x_N$ 去算，算了半天也算不出。想到不能再死磕，又突然发现 $y_M$ 和 $y_N$ 齐次，所以又算了一遍一下子就算出来了。此时还有半小时做导数，呃，做到 (3) 就知道我不会证，遂放弃回头检查。发现 T3 和 T14 做错了，遂改正。最终 T15 多解 $-2$ ，T17 漏全概率公式 $-1$ ， T19(2) 多解 $-2$ ，T19(3) $-8$ 。我真是多解仙人。希望明天能起码维持今天的发挥。

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64 2025.3.18 2025届苏锡常镇一模——【考试】113

【总结】

【传送门】无。

65 2025.3.24 2025届Z20联盟第二次联考——【练习】131

【总结】呃，鉴定为因为粗心扣了 $10$ 分，太唐了也。但整张试卷题目质量还是很高的，但可以猜答案。

T11 焦半径公式（夹角式）魅力时刻：圆锥曲线的焦半径公式： $d=|\frac{ep}{1\pm e\cos\theta}|$ 。其中， $e$ 为过焦点的直线与长轴的夹角， $p$ 是焦准距 $p=\frac{a^2}{c}-c=\frac{b^2}{c}$ 。T14 需要知道：线面角是一条定直线与面内任意一条动直线所成角的最小值。同时小角对小边。故而可以把双动点问题转化成求线面角，挺精妙的一道题。

然后说说唐比错误。 T15 立几里一个坐标多写了负号，全错了。 T18 解几里同时反了两个逆天的符号错误，反而导致我看不出来错的哪里，逆天。不过做的比标答简单，自我感觉。题外话，这题又是24年二卷压轴的改编。

T19 是二进制，呃，毫无阅读成本，但 (3) 不会。大概思路就是考虑要证 $f(n)$ 可以取遍正整数集，所以想到要论证 $f(n)$ 是单调的，那么可以尝试写递推关系，写递推关系的时候能发现关系很显然。而要找到唯一解就要考虑连续跃迁两次。

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2025 Apr

66 2025.4.1 2024届温州二模——【练习】未计分

【总结】做得太烂了。不计分了。

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67 2025.4.4 2024届郑州二模——【自测】142

【总结】qy所说不让我们浪费的试卷，是因为太简单了吗，你这家伙。呃，错了 T14 ，虽然确实不太会做，但想法差不多了，有点可惜。 T19(3) 的说理不太好，浅扣一点吧。

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68 2025.4.8 2024届新高考二卷——【练习】137

【总结】呃， T19 明明都做过好多变体了，遇到本尊还是不会做，呃呃。思路当然是对的，但算错，算不出，就很唐了。呃， T18 也是的，我真神人了，怎么做到两问都算错的？？？呃，没话说。

【传送门】无。

69 2025.4.10 2025届南盐一模——【限时】105

【总结】得训数学了。

最后一题挺 tricky 的，面对 $t=\frac{y_2+1}{y_1+1}$ 的情况，要求 $t$ 的最值。考虑再加上一个 $\frac{1}{t}=\frac{y_1+1}{y_2+1}$ ，这样 $t+\frac{1}{t}$ 就可以配凑出齐次的韦达定理了。而算出 $t+\frac{1}{t}$ 最值后，也能进一步计算算出 $t$ 的最值。

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70 2025.4.15 2022届新高考一卷——【练习】127

【总结】阅尽千帆，归来还是不会做。绷。其实感觉不限时的状态下，这些题真没那么难，但又有些不会了，权当查漏补缺了吧。不过这张计算量真的很大。但又没严格意义上的难度。

【传送门】无。

71 2025.4.15 2024届杭州二模——【练习】未计分

【总结】这张未计分主要是错了不该错的，不算分数了。但也没啥想记的了， T8 变形凑一凑会特别方便。而 T14 的圆锥里找椭圆也挺有趣的，这个可以截面截出与短轴平行的面。 T18(1) 直接死算，这个没有几何性质。

【传送门】无。

72 2025.4.17 2025届苏北七市二模——【限时】118

【总结】绷，感觉考场上理论上限 136，确实有不少不该错的没做好。加训。

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73 2025.4.19 2023届新高考一卷——【练习】133

【总结】绷，依旧是低分仔。呃，感觉难度主要就集中在最后一题的 $9$ 分，其他没难度说是，但又是犯了不该犯的错。最后一题按标答来看感觉强度还是挺大的，但其实可以直接全放缩，不过这也很需要勇气啊。

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74 2025.4.22 2025届宁波二模——【练习】126

【总结】正视问题。

T8 三次函数请记得“三等分”的结论：当三次函数f(x)存在极值 $M$ 和 $m$ 时，在区间 $[x₁,x₂]$（ $f(x)=M$ 的两个根）内，极值点和对称中心会将区间三等分。以及最大值的限制条件，呃呃，这个明明之前有张试卷考过的，哎。 T11 D，对空间想象能力要求挺高的，呃，注意到，底不变的情况下肯定是一个四面体越往上拉伸越可能有内切球，故侧过来考虑极端情况。 T14 和去年武汉的 T19 有点类似的，警钟长鸣啊。 $e^x+b^x=2$ 有且仅有一个零点。那么考虑把移项一下，变成两个函数，画图。显然，如果 $0<b<1$ ，那么一定要在 $x=0$ 处恰好相切才行，不然就会和两边的某一边额外有个交点！T19(3) 排序不等式相关，呃，意义不大。

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75 2025.4.22 2025届温州二模——【练习】未计分

【总结】出去竖着了。题目强度确实挺大的，没啥好记的。 T8 找出截面之后嗯做。T18 不难注意到点 $T$ 也在圆上。

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76 2025.4.24 2025届广州一模——【限时】112

【总结】绷，最后一题题错了还不给我对，哈哈。

T14 注意到垂直了，但没想到要去用，有点唐。 T17 递推的时候注意区分好情况。 T18 呃，肯定能算啊，二元化一元。

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77 2025.4.24 2025届金陵中学、海安中学3月考——【练习】未计分

【总结】怎么还有作业啊。其实还是比较简单的，没啥好记的。 T18 注意到算到最后是一个椭圆上的点 $(x_0,y_0)$ 的式子，要求最值考虑三角换元，发现能用 $\sin\theta+\cos\theta$ 和 $\sin\theta\cos\theta$ 来构成二次函数求最值。

【传送门】无。

78 2025.4.28 2021届新高考一卷——【练习】141

【总结】貌似是比较简单的一年。填空倒一莫名其妙错了，看清题啊，难绷。解三角形解出来 $\cos\theta>1$ ，你说这答案自己写上去，自己信吗。 T19 左边是极值点偏移很典，右边是切割线放缩，当然其实比值换元也可以，是通法，不知道怎么做就一定要敢算。

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2025 May

79 2025.5.3 2025届苏海姜淮四校二月联考——【练习】129

【总结】强度太大了有点。

T11 C 考虑椭圆的第二定义，即动点到定直线距离比动点到定点距离为定值。 T14 可硬算也可几何。T16(1) 属于是非常规的立几证明，但其实很简单，直接两边作高就好了。 T19(2) 需要注意到同构，于是（3）才可以用极值点偏移来放缩。其实 (3) 想到极值点偏移是容易的，但后续的放缩还是逆天。

【传送门】https://www.bilibili.com/video/BV1woAqe3EHe

80 2025.5.3 2025届武汉四调——【练习】未计分

【总结】垃圾。

T14 需要知道，内切球是与几何体内每个面都相切的。 T17 脑筋急转弯。 T19(2) 第三定义即可。

【传送门】https://www.bilibili.com/video/BV1mJ5qzNEpC

81 2025.5.4 2025届苏锡常镇二模——【考试】132

【总结】尽力了。

【传送门】无。

82 2025.5.8 2022届浙江卷——【练习】125

【总结】算错好多啊。感觉选择这种数列放缩压轴过难了。填空压轴的向量需要考虑转化一下，就很好做了！剩下两个算错的有点唐。最后一题导数不可做题。

【传送门】无。

83 2025.5.12 2023届全国甲卷（理）——【练习】未计分

【总结】呃呃，本来是想吧非新课标内容略去然后计分的，但做的状态实在有点，全改了，所以还是不记了。没有绝对难题，但总感觉有点烦。

已知三角形角平分线，求角平分线长度，记得等积法啊！！！

【传送门】无。

84 2025.5.13 2023届新高考二卷——【练习】139

【总结】压轴有点典，此外都是简单题。

$S_n$ 是等比数列，那么 $S_n$ , $S_{2n}-S_n$ , $S_{3n}-S_{2n}$ 成等比数列。

【传送门】无。

85 2025.5.14 2020届佛山顺德第三次质量监测（理）——【练习】129

【总结】实则是2018年教育部的新高考测试样卷。错了点唐题。

解几是 #77 解几的弱化版，倒不如说是 #77 加强了一下。总之就是要想到三角换元，会方便很多。导数有点意思，是一个证明，注意一下导函数是二次函数且有两个零点的几何性质即可。新定义感觉不是没啥思维量，但我唐了一下，绷，要考虑到枚举最大边的所有方案数，即可。

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86 2025.5.14 2025届姜堰如东沐阳联考——【练习】未计分

【总结】

【传送门】无

87 2025.5.15 2025届省熟中高三上周测5.15——【限时】105

【总结】

【传送门】无

88 2025.5.15 2025届山东名校联盟4月联考——【练习】136

【总结】

【传送门】https://www.bilibili.com/video/BV1cN51zmEU9

89 2025.5.17 2024届新高考一卷【RE】——【自测】137

【总结】实际上我还是无法回到我第一次做的时候的状态，总有种都会了的感觉，实际上还是在做过一次，和一年的训练过后，对其中的大部分题型都熟悉了吧。

呃。skip了 T11 的 CD 。 -2 。做得很顺。直到立几，属于是败笔，设了两个变量之后算了 $20$ 分钟，这里肯定是设一个变量啊。哎。真要是考场上的状态可能就要崩掉了，尽量规避掉这种计算量太难的做法。然后做 T18(1)(2) ，这次发现都有点显然。然后又做 T19(1)(2) ，这次很自然地想到了 (2) 里要区分前3组和后面的，呃。然后回过去又做 T18(3) ，做了得 $30$ 分钟，唐。端点效应写到飞起来，求导写得麻烦至极写到四介导，甚至还提出来又导了一次，神人。 -2 。按照去年江苏的评分标准推测应该是这个结果。这种就是得学会提公因式，别不敢提。警钟长鸣。然后最后一题稍微分析了一下，注意到需要 $|K_m|\ge m^2+m+1$ ，不想做了。 -9 。回去检查了 $10$ 分钟，没发现错误。

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90 2025.5.19 2025届青岛一模——【练习】未计分

【总结】垃圾试卷。

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91 2025.5.22 2025届南京二模——【练习】140

【总结】信心卷。

【传送门】无。

92 2025.5.22 2023届全国乙卷——【练习】未计分

【总结】所谓立几不能建系，立几特别难都是假的。

【传送门】无。

93 2025.5.23 2025届苏州八校三模——【考试】115

【总结】又唐氏了。之前一模把解几解析式求错，这次把解几左右端点看反，又全扣。神人。

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94 2025.5.27 2025届南通三模——【练习】未计分

【总结】感觉做得还行。

【传送门】无。

95 2025.5.28 2025届盐城考前指导——【练习】未计分

【总结】

【传送门】无。

2025 Jun

96 2025.6.2 2025届深圳二模——【练习】未计分

【总结】

【传送门】无。

96 2025.5.29 2025届苏州三模——【限时】122

【总结】唐。

$P$ 是 $Q$ 的充分条件表明： $P\to Q$ 。

【传送门】无。

2025 Jun

97 2025.6.3 2025届省熟中最后一卷——【限时】

【总结】

【传送门】无。

posted @ 2023-02-26 01:02 haphyxlos 阅读(348) 评论(0) 收藏举报

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