P12431 [BalticOI 2025] Gingerbread 复杂度证明

P12431 [BalticOI 2025] Gingerbread 复杂度证明

性质一 当 \(n\ge 9\)，答案不大于 \(1\)。

证明：

引理一 \(\forall i\in\mathbb N^{+},i\perp (i+1)\)

证明：若 \(d\mid i,d\mid (i+1)\)，则 \(d\mid 1\)。

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引理二 令 \(d_i=\gcd(a_1,a_2,\dots,a_i+1,\dots,a_n)\)，\(\forall i,j\in[1,n]\cap\mathbb Z,d_i\perp d_j\)

证明：考虑 \(x,y\in[1,n]\cap\mathbb Z\)，若 \(d_x=1\) 或者 \(d_y=1\) 则显然成立，考虑当 \(d_x>1,d_y>1\) 的情况。根据定义存在 \(d_x\mid y,d_y\mid x,d_x\mid(x+1),d_y\mid(y+1)\)，若存在 \(d>1,d\mid d_x,d\mid d_y\)，那么 \(d\mid x,d\mid y\)，且 \(d\mid(x+1),d\mid(y+1)\)，则导出 \(\gcd(x,x+1)\ge d>1,\gcd(y,y+1)\ge d>1\)，即 \(x\not\perp (x+1),y\not\perp(y+1)\)，与引理一矛盾。

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回到性质一，如果答案大于 \(1\)，则肯定满足 \(\forall i,d_i>1\)。根据定义对于一个数 \(a_x\)，\(\forall j\neq x,d_j\mid a_x\)，又 \(d_i\perp d_j\)，则 \(\prod_{j\neq x}d_j\mid a_x\)，因为 \(a_x\le 10^7\) 所以即使 \(d_j,j\neq x\) 是最小的几个质数，也只能放 \(8\) 个，故 \(n\) 必须不大于 \(9\)。

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性质二 答案不大于 \(11\)。

证明：考虑一种构造，使得如果只操作第一个和第二个数，用不超过 \(11\) 次就肯定能将两个数变成互质的。假设第一个数是 \(a\)，第二个数是 \(b\)。我们考虑让 \(a\) 加 \(r\in\{0,1,2,3,4,5\}\)，那么首先考虑排除使得 \(2\mid (a+r)\) 的 \(r\)，此时至少还剩 \(3\) 个 \(r\) 使得 \(2\nmid (a+r)\)。然后考虑排除 \(3\mid (a+r)\)，此时剩下的 \(r\) 的差要么是 \(2\) 要么是 \(4\)，故还有至多一个 \(r\) 使得 \(3\mid (a+r)\)。那么还剩下两个。这两个 \(r\) 的差不可能是 \(5\)，因为 \(r=0,r=5\) 至少被排除了一个，因此这两个数的差必然小于 \(5\)，则其中最多也只有一个 \(r\) 满足 \(5\mid (a+r)\)，所以还能剩下一个唯一的 \(r\) 满足 \(2\nmid (a+r),3\nmid (a+r),5\nmid (a+r)\)。

我们找到这个 \(r\) 之后，我们知道 \(a+r\le 10^7+5\)，在这个范围内，它又不被 \(2,3,5\) 整除，则最多还有 \(6\) 种质因子，而我们可以给 \(b\) 加上 \(c\in\{0,1,2,3,4,5,6\}\)，一共 \(7\) 种数，最坏情况下，可能存在 \(6\) 个不同的 \(c\) 满足 \(b+c\) 刚好被这 \(6\) 种质因子中的一个整除，但是我们还剩下一个可用的 \(c\)，一定不会被任何 \(a+r\) 中的质因子整除，因此我们构造了一种方案，说明只需要 \(11\) 个数就可以让序列中的任意两个数变得互质，整个序列也就互质了。

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有了上述性质，我们就可以证明搜索的复杂度了，即 \(\sum_{i=2}^{11}{n+r-1\choose r-1}\)，当 \(n=9\) 时，搜索量约为 \(184755\)。显然可通过。当 \(n>9\) 时判断一下 \(\gcd\) 是否已经为 \(1\) 就好了。