P17179 Catgirl Catgirl Pure Cute 结论

P17179 Catgirl Catgirl Pure Cute

前言

本文作于 2025-09-10。最初本题只是 @yzy4090（T7OI G2024）随便想的一个题，然后他观察出了结论让我证明。
后来这题给了后辈们（T7OI G2023/C2023E）做比赛题，故本文隐藏至今。
这道题最开始并没有要求构造方案，我也不知道本文的这种方法能不能得出一种构造方案。
最开始这道题的描述没有这么颠，在经过可爱的猫猫 @NyaingCBC 一通操作之后题面就被混进了一些大家喜 闻 乐 见的元素。由于实在太颠，我没有更改本文的描述来契合当前题面。这里的“灯”就是“猫娘”，“灯亮”就是“猫格”。
我还在役的时候水平就很低，故本文的做法仅供参考。而我已于 NOIP2025 后退役，恕我不能回答您的问题。
2026-08-02

注意到，若设 \(a_{i,j}\) 为 \(1\) 当且仅当 \((i,j)\) 在最开始是亮着的，那么，答案可表示为：

\[\max\left\{\sum_i\left[\sum_j a_{i,j}\equiv 1\pmod 2\right],\sum_j\left[\sum_i a_{i,j}\equiv 1\pmod 2\right]\right\} \]

也就是说，答案是最开始有奇数个亮着的灯的行数与最开始有奇数个亮着的灯的列数的最大值，我们令前者等于 \(R\)，后者等于 \(C\)，第 \(i\) 行亮着的灯数为 \(r_i\)，第 \(j\) 列亮着的灯数为 \(c_i\)。

我们现在证明引理

引理一 无论如何操作，都不能改变 \(r_i\pmod 2\) 和 \(c_i\pmod 2\)。

考虑分类讨论以上情况，每一种情况做操作之后，涉及的行列奇偶性不变。

引理二 若存在一对点 \(x,y\)，其在同一行，则我们可以同时上下移动这一对。其在同一列的情况同理。

对于这两个点中间间隔奇数或偶数个格子，执行上述操作，可归纳地证明这一点。

引理三 若存在三个点 \((x,y),(x,j),(i,j)\)，那么可以将这三个点变成 \((i,y)\)。

如图，不断应用引理二即可。

引理四 假设现在不存在引理三的情况，若存在四个点 \(A=(x,a),B=(x,b),C=(c,y),D=(d,y)\)，不妨设 \(a<b,c<d\)，则可将这四个点转化为 \((c,b),(d,a)\)，且此时满足 \(c_a=c_b=1\)。

由于不存在引理三的情况，反证法可知 \(c_a=c_b=r_c=r_d=1\)，否则就存在引理三的情况。

然后，我们把 \(A,B\) 应用引理二，移动到和 \(D\) 同一行，此时，我们可以应用引理三。

那么，我们先不断应用引理三，直到不能应用，然后不断应用引理四，直到不存在在同一行的点对或是在同一列的点对。假设最后没有在同一列的点对，那么由于引理一，每个存在点的列都是原先的亮灯数为奇数的列，此时一定满足亮灯数为奇数的行不大于存在点的列数，因为显然至少需要一个点。此时如果再消掉点，根据鸽巢原理，一定有原先有点的列现在分不到点，那么一定改变了某列的奇偶性，这是与引理一矛盾的。因此我们证明了此时的列数（每一列都是 \(1\) 个点，且等于 \(C\)）是答案，且不小于现在亮灯数为奇数的行数（等于 \(R\)）。

不难发现，把状态任意旋转，不会改变其答案。因此原结论得证。