[Look-back] 20250905 T2 Island Hopping

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做太久了，所以是怎么会逝呢？

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其实一开题就发现了航线上的性质，但是当时是以一个非常不清晰的方式描述的，我描述的是“两两岛屿之间有没有陆地”。但是什么叫之间呢？是什么意思？当时想的是两个点之间的矩形内没有陆地，但是我们的问题主要是集中在连通块之间，两个点之间有没有航线其实对解决连通块之间航线的问题没啥用，因为岛的形状是可以很奇怪的，如下。

两个点之间的矩形内没有陆地：其实这个就对了，按这个连，边数就是 \(O(nm)\) ，但是并没有看出来他是对的。

你不能说 1-3 之间就肯定是要从 2 中转。

但是其实我没有一种敏感性，就是显然这个性质是非常重要的，应该尽可能把它变成一个可用的形式。然后想暴力的时候想到其实用什么特殊技术解决是不可能的，就应该是分层图，但是好像没有什么别的性质了。

这个时候我才意识到，其实要控制一下边的数量，就是刚刚的结论，一个更可用的版本：一个航线中间如果穿过陆地，那么下来转机是更优的。这一下就去掉了一大部分的航线。但是还有那些在海中间拐并且避开陆地的航线，但是很容易就能想到：

如上，被迫避开陆地的航线肯定是不优的。

因此我们只需要留下这种边：

那么，这些有多少个呢？？我最开始以为没有优化，但是后来仔细分析每条路径都必须要有一个拐点（当然，每个点还可以不拐弯，但是这样最多 \(4\) 个），而对于一个没有陆地的点，他只可能作为他上下左右四个最近陆地的拐点，所以，总边数是 \(O(nm)\)。就做完了。

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感觉最大的问题就是太发散了，可能前一个小时都不会有什么很大的进展，没有认识到的可能方向。很多时候都是不知道在空想什么，但是没有足够深刻的理解已经发现的性质，没有整合和利用之前的性质。找性质也是要有目标、区分主体的。