[Procedure #13] CF1481E Sorting Books

[Procedure #13] CF1481E Sorting Books

[Start]

首先，如果你想取一类书，那么除非这种书本身就有一部分在末尾，否则肯定是连续取完的。吗？不对，不一定。

观察：肯定至少有一种书是不用移动的。如果两种书互相交叉，肯定至少有一种需要移动。

我们把一种书的分布范围抽象出一个区间，那么最终状态就是所有区间都不相交。对一种书做一次操作，假如选择的点是 L，那么区间就会 R 到最后，L 收缩，否则，区间 L 不变（相对于其他点，不是指绝对位置），R 到最后。

[Hint] 考虑 DP 它的对偶问题，即至多不移动几本书。

首先不动的数构成的区间不可以重叠。然后显然不动的数构成的区间是这种数原来区间的子区间。

如图，我们考虑最上面那一排区间是我们决定不动的数，下面的是原区间。由于不能改变相对顺序，所以我们考虑先动蓝色的，但是我们发现橙色的区间的右端点超过了蓝色的，然而区间的右端点无法收缩，只有左端点可以收缩，所以这种不动方案就是不行的。

同理这些也是不行的。

因此我们可以得出结论，选择不动的颜色，除了最后一种选择不动的颜色之外，其他的一定所有这种颜色的点都不动且区间互相不交，最后一种是任意的，没有限制，其他的颜色都是全都必须要动的。

因此我们可考虑 \(f_{i,0/1}\) 表示前 \(i\) 个数中最多不动的点数，且当前是否已经选择了一个没有限制的区间。

转移考虑，如果当前是一个右端点：

• 考虑将这个区间选择为一个有限制的区间，\(f_{i,0}\gets f_{l_i-1,0}+cnt_i\)。

• 考虑将这个区间选择为一个没有限制的区间，$f_{i,1}\gets $ 对于每个颜色是 \(col_i\) 的点 \(j\)，贡献 \(f_{j-1,0}+j\sim i\) 中有几个 \(col_i\) 的点。

对于所有：

• 考虑不选择/不能选择：\(f_{i,1}\gets f_{i-1,1},f_{i,0}\gets f_{i-1,0}\)

初始化：\(f_{0,0}=f_{0,1}=0\)。目标 \(n-\max(f_{n,0},f_{n,1})\)。

对于每一个颜色的点，我们记录一下这个贡献值，以备使用，即可做到 \(\mathcal O(n)\)。

[Finish]

Thoughts Memo

可以考虑 DP 问题的对偶问题，这个问题可能限制性更大，例如本题中如果书本不能移动，那么相对位置就不能改变，所以比原问题好处理。