Pre-NOI Goo Probs

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这是一个尝试，我会用递进的提示来梳理一个题目的思路。希望这能帮助你提升思维能力。尽量自食其力，我只会给最小的帮助。

A. CF2048G Kevin and Matrices *2800

Hint 1 什么情况下，矩阵是合法的？这个条件可以等价于什么？
这个限制肯定有很多性质吧，$a>b>c\land c>a$ 是显然不合法的情况，画画看。
Hint 2 题目中条件的左边可能小于右边吗？假设可以，试一试？
Hint 3 其实是不能的，对吧。那就只能是等于了，那么，这种情况下，矩阵里一定存在一类点……
Hint 4 ……这种点同时是一行的最大值和一列的最小值。这个条件是不是充要的呢？
Hint 5 我们现在知道这就是结论了。要计数满足“存在这种合法点”的矩阵，考虑容斥原理。
Hint 6 我们不能 $2^{nm}$ 地进行钦定。事实上，合法点的分布有所规律，举几个例子看看？
Hint 7 对了，所有合法的点构成了矩阵的子矩阵（注意不是连续子矩阵，子矩阵的意义是选择若干行和列的交点）
Hint 8 写出这个式子，你肯定能做到。但是复杂度好像很高，我们必须使得式子不枚举 m，这样就可接受了。
Hint 9 我看它有点像二项式定理？
Final Answer $$ =\sum_{k=1}^v\sum_{i=1}^n(-1)^i\binom ni\left(\sum_{j=0}^m\binom mj\left(-(v-k+1)^{n-i}\right)^j\left(k^iv^{n-i}\right)^{m-j}-\left(k^iv^{n-i}\right)^m\right)\\ =\sum_{k=1}^v\sum_{i=1}^n(-1)^i\binom ni\left(\left(-(v-k+1)^{n-i}+k^iv^{n-i}\right)^m-\left(k^iv^{n-i}\right)^m\right) $$

B. P4517 [JSOI2018] 防御网络

Hint 1 期望题，无非就是拆贡献。
Hint 2 按边考虑贡献，看起来是不错的选择。这个图是点仙人掌？
Hint 3 树边是很好做的，那环上的边怎么考虑？什么情况下，一条环上的边会被贡献？
Hint 4 ……当环上有多个被选点时，环上最长的一段会被抛弃。以此设计 DP 算法。注意到 $n\le 200$。
Hint 5 枚举每一段就好了。。。但是如果一个划分方案中有两个长度相同的段，他们不能被重复贡献。
Hint 6 ……我们再额外比较一下这两段的端点的大小即可。我想这个 DP 式子的优化你肯定是会的。
如果你不知道…… 用前缀和优化。
好吧，就是这样，不知道怎么评级这么高。

C. P3768 简单的数学题

Hint 1 你现在有两个手段，处理 $\gcd$，我们是专业的。
方法 1 用莫比乌斯反演的结论。先枚举 $\gcd$ 的值，然后使用反演变换核 $\sum_{d\vert n}\mu(d)=[n=1]$。
方法 2 利用欧拉反演的结论，$\sum_{d|n}\varphi(d)=n$。这个只会引入一重循环，看起来简单些？
Hint 2 嗯，就正解而言，选择欧拉反演更合适。
Hint 3 对 $\varphi(k)k^2$ 运用杜教筛。

笔记：快速构造杜教筛函数——使用迪利克雷生成函数

前置：狄利克雷生成函数 - OI Wiki

由定义，容易知道 \(\tilde\epsilon=1\)。

我们以 \(f(x)=\mu(x)x^2\) 为例，容易知道：

\[\tilde f(x)=\prod_{p\in\mathcal P}\left(1-\frac{p^2}{p^x}\right)=\prod_{p\in\cal P}\left(1-p^{2-x}\right)=\frac{1}{\zeta(x-2)} \]

那么 \(\tilde f(x)\zeta(x-2)=1=\tilde\epsilon\)。不错。

D. CF757E Bash Plays with Functions *2500

Hint 1 枚举了一对 $(u,v)$，但是贡献却是加起来的，没有乘积项……
Hint 2 于是可化为 $f_r(n)=\sum_{d|n}f_{r-1}(d)$。
Hint 3 这不是迪利克雷前缀和么。看看 $f_0(n)$ 有什么性质……
Hint 4 若用 $\omega(x)$，来表示 $x$ 所有的质因子种类数，那么 $f_0(x)=2^{\omega(x)}$。
Hint 5 这指示我们按质因子考虑。
Hint 6 质因子 $p$ 在 $f_0(d)$ 的时候，如果 $d$ 中有 $p$，那么会贡献 $2$，然后会随着一条路径到达 $f_r(n)$，如果用 $c_{p}(n)$ 来表示
$n$ 中有多少 $p$，那么这就是一条 $p$ 的指数 $0\to c_{p}(n)$ 的路径。
Hint 7 你会发现，我们从每个质因子的路径中选出一条，对应位置相乘，就得到了一条贡献的路径。那么……
Hint 8 这很类似于多项式乘法，所以每个质因子的贡献是独立的。
Hint 9 每个质因子有两种路径，一种是在开头指数就大于 0 的，一种是开头指数是 0 的，前者有 2 的贡献后者有 1 的贡献，分别乘起来即可。
怎么统计路径数量就很容易了，
如果你不知道…… 这相当于不定方程解个数问题。

CF1033E Hidden Bipartite Graph *2800

Hint 1 正常来说，判断一个图是不是二分图的方法是什么？
如果你不知道…… 黑白染色法。
Hint 2 但这里好像用不了吧！图是隐藏着的，怎么找到出边呢？
Hint 3 好像直接询问两个点可以得到是否连边了，但都要询问一遍，消耗次数太多了。
很遗憾我们需要一个观察，下一个 Hint 将给出这个观察。试着找出一种能帮助我们的操作方式。
Hint 4 我们一次可以检查许多点，如果我们一次检查一个集合是否和一个节点之间有连边，那么就能优化。
Hint 5 我想你会发现做 2 次询问就能做到。我们在未访问过的点集合内使用二分法即可。
Hint 6 好了，现在怎么求奇环？
黑白染色的过程中…… 拿出发生冲突的边即可，配上树边即可。
posted @ 2025-06-30 09:10  haozexu  阅读(18)  评论(0)    收藏  举报