[省选联考 2025] 图排列 —— 故地重游

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Sub 1 \(G\) 是树，\(n\le 2000\)

注意本质上就是安排结点的排列顺序，不要让边交叉，递归地做这种事情，在每个点处，相当于我们能够安排子树的顺序。

我们只需要记录每个子树序列的第一个数就可以比较了，不需要把序列都记下来。

Sub 2 \(G\) 联通，\(n\le 2000\)

这是赛时跳过的分，现在看看，应该是破解的关键。注意对于一个环来说，你必须把他顺序放置，要不然就会交叉。

好像还是同样的。就不断地断环为链，然后剖分出最大的环，然后递归，就是说把边双剖出去。

总结一下，边双缩点，外面的按树做，然后里面的边双，找最小点，放最左边，断掉一条边，重复边双缩点的操作。

等一下，大环套小环是不可能的，或者说，只有一种环套环是有可能的——他只能是一条链上面加若干不交可包含的边的那种。

我猜这种应该是可以随便转的。

所以显然，第一位一定是 1，我们先把 1 放到第一位，然后其实这种环套环的多余边没什么用，也没有造成限制。

具体怎么做，以 1 为根建立 DFS 树，如果有到 1 的返祖边 \(x\to 1\)（要是有多个，随便抓一个），把他抓出来，然后遍历 1 到 x，把中间其他点的 DFS 子树拿去递归，一个DFS 的子树就可以随便决定放左边还是右边的顺序，大于根的都放右边，小于根的都放左边，然后内部再排下序。注意一个在有返祖边时的特判，根的子树是可以任意排序的，但是非根的、1-x 路径上的子树只能选择放左还是放右。要是没有返祖边，就直接递归根的子树，可以随便排序。

Sub 3 \(n\le 2000\)

可以直接尝试插进当前序列，插进第一个比本树序列的第一个大的那个，注意最开始总是以最小的那个为根，递归的时候不需要，因为结构固定了。

Sub 4 \(n\le 10^5\)

我们只需解决最后插入的那个问题即可。其实我们知道每个树序列的第一个，就是最小的那个标号。我们用链表并存每个点对应的当前位置，支持下区间加区间求最小值即可，插入可以用链表维护。

不对不对，什么东西，直接按顺序进行，把联通块按最小标号排序，如果下一个数大于下一块的最小标号，那么就继续加入下一块的内容。

等等，这个玩意要对，必须依赖于，我要找到一个点双里面的一个哈密尔顿路，这样我这个就是满足的，引用题解的话说，剩下的边就是挂在哈密顿路上面的。

我感觉这玩意跟题解殊途同归了，我必须找到点双内部的哈密顿环。而这是 CF1656I Neighbour Ordering - 洛谷。

俺的任务完成辣！