一些或 SB 或有用的点

一些或 SB 或有用的点

1. 一个奇怪的分治

对于以下问题：

给定一个均匀随机生成的正整数序列 \(a_i\)，长度是 \(n\)，求：

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n a_ia_j[a_i\ge 2a_j] \]

分治，对于每次，按值域分成 4 块，其中最小的一块一定可以贡献给最大两块，计算之后递归到前三块和后两块计算，时间复杂度用 Akra-Bazzi 可以证明为 \(\mathcal O(n^{1.507})\)。在我想到的全部能够利用这个方法的问题上，没有证据证明，这个方法好于其他利用前缀和之类的算法。

2. 冒泡排序的一个性质

见 [Entertain] 证明 20250404 T1 之 容易发现 - haozexu - 博客园 (cnblogs.com)

3.

\[\sum_{d|n}\sum_{k|d}1=\prod_{c_i}\frac{(c_i+2)(c_i+1)}{2} \]

其中 \(c_i\) 为每个不同质因子的次数。

4. 决策单调性可以部分使用

见[Note] 决策单调性 DP。

5. Yet Another Minimization Problem

可以采用类似莫队的方式维护这个很难算的贡献函数，复杂度正确性证明见

6. 我们或许可以将 wqs 二分的惩罚系数思想推广到其他形状的函数上