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【!REPLAY!】

前缀和优化 \(f=g*1\)

可看作 \(n\) 个质因数，做高维前缀和

这个实例让我们知道实际上高维前缀和不一定只适用于 0/1

高维差分优化 \(f=g*\mu\)

由于 \(\mu*1=\epsilon\)

例子

Trick1：用莫比乌斯反演就是将 \(f=g*1\)

此时我们可以令 \(f=g*1\) 就可以把函数的复合放到外面。

然后考虑反演 \(f*\mu=g\)

例子2

\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^n\operatorname{lcm}(i,j) \]
\(n\le 10^7\)

Trick2：经典拆 lcm、经典枚举 gcd、经典枚举因数、经典调换求和顺序（艾弗森法则）

Trick3：\([n=1]=\sum_{d|n}\mu(d)\)

注意整除分块套整除分块的复杂度为 \(\mathcal O(n)\)

同时也可以用上面例子1的方法令 \(F=\frac{1}n,F=g*1\)

用 \(g\) 替换后可得：

\[\sum_d g(d)sum(\lfloor n/d\rfloor,\lfloor n/d\rfloor) \]

要快速求出 \(\sum_d g(d)\) 可利用线性筛 \(F*\mu=g\)

可以先乘上 \(n\) 然后化为一个简单的形式，然后可得出线性筛的做法。

例子3

唯一的不同就是 lcm 里面换掉了，可以考虑转化问题，不要枚举下标，而是枚举值，乘上出现次数。

例子4

Trick4：辗转相除转化过大 gcd

【!REPLAY!】筛讨论

例子5

Trick5： 偏序关系难处理，化为等于关系，进行递推

令 \(G(n)=\sum_{i}^{n}\sum_{j}^{n}[\gcd(i,j)+\operatorname{lcm}(i,j)=n]\)

这里采用枚举 gcd 的方法。

那么后面这个式子有组合意义。可以筛出质因子数目。

Trick6： 提取公约数尽量去掉限制，注意艾弗森约定的组合意义。

基本和组

令 \(D(x)=\{\lfloor x/1\rfloor,\lfloor x/2\rfloor,\dots,\lfloor x/x\rfloor\}\)

通过分类讨论 \(\sqrt x\) 得到 \(\mathcal O(|D(x)|)=\mathcal O(\sqrt x)\)

定理 \(D(\lfloor x/a\rfloor)\subset D(x)\)

那么，计算一个卷积，如果可以知道其中一个函数的前缀和，则可以 \(\sqrt n\) 地求出卷积。不过，我们必须求前缀和。

杜教筛

现在要求 \(f\) 的前缀和

我们要找到 \(h=f*g\) ，构造出 \(h,g\) ，必须能 \(\mathcal O(1)\) 求前缀和。

\[\begin{aligned} H_n=&\sum_{i=1}^n h_i\\ =&\sum_{i=1}^n\sum_{j|i}f_ig_{\lfloor i/j\rfloor}\\ =&\sum_{ab\le n}f_ag_b\\ =&\sum_{b}g_b\sum_{a\le \lfloor n/b\rfloor} f_a\\ =&\sum_{i}g_i F_{\lfloor n/i\rfloor}\\ =&g_1F_n+\sum_{i=2}^ng_iF_{\lfloor n/i\rfloor} \end{aligned} \]

即得杜教筛公式。

我们设定一个阈值 \(B=n^{2/3}\) ，小于的时候线性筛，大于的时候杜教筛。