Spark _Exam_ 20240718

Spark Exam 20240718

Conclusion

这个，至少思路上是能拿到 310 分的（现行评测数据下，如果数据足够强，思路上应该能够拿到 240 分）

不过确实还是踩了一定的坑，也有一定的好技巧可以记录。

A. 骑马 (horse)

Statement

给定 \(n\) 个初值都为 \(1\) 的变量，有三种操作：第一种有 \(a\) 个，\(X\leftarrow 2X\) ；第二种有 \(b\) 个，\(X\leftarrow X+20\) ；第三种有 \(c\) 个，\(X\leftarrow X+50\) 。现在要依次对这些变量进行操作，求在保证每个变量的值不超过 \(100\) 的情况下最多执行多少个操作。

\(n\le 150,a+b+c\le 300\)

Solution

考虑动态规划，设 \(f_{i,x,y}\) 为当前为第 \(i\) 匹马，\(x\) 个操作一剩余，\(y\) 个操作二剩余时最多执行多少操作。这样操作三剩余可以被计算出来 \(a+b+c-x-y-f_{i,x,y}\) 。考虑这样转移的正确性，对于确定的三元组 \((a,b,c)\) 表示对于某一变量应该执行 \(a\) 个操作一、\(b\) 个操作二、\(c\) 个操作三，那么显然应该先执行操作一，再执行操作二，再执行操作三，因为操作二三的代价都是不变的，然而操作一的代价越早执行就越小。

这样转移的复杂度是 \(\mathcal O(n^3)\) 的，带有 \(48\) 的常数。

B. 可爱的数 (lovely)

Statement

真是tnnd可爱呢

给定一个可重正整数集合 \(S\) ，求一个 \(S\) 的最大可重子集 \(P\) ，使得没有两个 \(P\) 中的数乘起来是完全平方数。

\(1\le n\le 10^5,\forall x\in S,1\le x\le 10^{10}\)

Solution

注意到不会有很多这样拼出来是立方数的对。

等一下！这里有一个证明，证明所有这样的数对如果连边那么是树。虽然和这个题目没什么关系，但是还是可以看看。

原图除了完全立方数的部分其他都没有环，证明：
原图有环，等价于存在 \(a,b,c\) 使得 \(ab,bc,ac\) 都是完全
立方数，那么就得到 \(a^2bc\) 是完全立方数
由于已经知道 \(a,b,c\) 都不是完全立方数
非完全立方数的平方必然不是完全立方数
则 \(a,b,c\) 互异，也知道 \(a^2\) 不是完全立方数
但是又知道 \(bc\) 是完全立方数，一个完全立方数
乘上 \(a^2\) 这样的非完全立方数不可能是完全立方数，矛盾

观察每个数对，他们有什么特征？一定是所有质因子的指数加起来是三的倍数。不妨把所有立方因子都提出来，这样剩下的部分指数就只有 1/2 了，那么就很好处理出和他能够拼出完全立方的另一半吗，这个显然是唯一的。考虑这个时候直接把两边的最大值加入答案即可。

但是这个质因数分解的复杂度是不可以接受的，不过我们之前利用过这样的性质：每个数都至多有 \(1\) 个大于其平方根的质因子。分解到平方根显然是不能接受的，但是分解到三次方根是可以接受的，考虑每个数也至多有 \(2\) 个超过其三次方根的质因子。

那么我们分解到三次方根，剩下两个直接分类讨论即可。

Trick ：每个数都至多有 1 个大于其平方根的质因子。每个数也至多有 2 个超过其三次方根的质因子。当考虑与质因子密切相关的问题时，以上两条性质能够提供关键线索。

C. 诗歌

Statement

给定字符集为 \(\Sigma\) 的文本串 \(S\) ，多次询问 \(T\) 在 \(S\) 中的出现次数，强制在线。

其中， \(\sum |T|\le 10^5,|\Sigma|=10^6,|S|\le 10^5,q\le 10^5\)

Solution

字符串匹配的长征！

Algorithm 1

暴力匹配，本算法在线，时间复杂度 \(\mathcal O(q|S||T|)\)

Algorithm 2

哈希匹配，本算法在线，复杂度为 \(\mathcal O(q|S|)\)

Algorithm 3

KMP，本算法在线，复杂度为 \(\mathcal O(q|S|)\)

Algorithm 4

AC 自动机，本算法离线，复杂度为 \(\mathcal O(|\Sigma|\sum|T|)\)

Algorithm 5

考虑将所有短于 \(\max |T|\) 的子串 Hash 之后插入 unordered_map，询问时查询。时间复杂度 \(\mathcal O(n\max |T|)\) 。

注意 unordered_map 常数和空间消耗！

Algorithm 6

SAM 中间套 unordered_map 直接上（不会写qwq），恭喜获得最优解，\(\mathcal O(\sum |T|+|S|)\) ，但是这是严重超纲的。

Algorithm 7

SA 之后直接二分查找

Algorithm 8

注意到总长度有限制，考虑根号分治。对于小于某阈值 \(B\) 的询问，采用 Algorithm 5，否则采用 Algorithm 2/3，考虑均值不等式求阈值。

Algorithm 9

若数据是随机生成的，还可以预处理每个字符的出现位置，然后哈希判断，这能够做到期望线性。

D. 相似 (shingen)