Footnotes

math-phi-p2568.cpp

关于 \(\sum\) 的变形
没有一个具体的规则，主要是要你实际地模拟一下\sum计算的过程、
计算的对象是什么，然后在进行等价的一些变化

先根据题目所求列出暴力的表达式

\[\sum_{p\in\mathbb P}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n[\gcd(i,j)=p] \]

分析发现，现在是枚举 \(i=p\times k_i,j=p\times k_j\) 查看是否 \(\gcd(i,j)=1\) ，把最大公约数挪到左边，变成枚举 \(i/p,j/p\) 判断 \(\gcd(k_i,k_j)=1\) ，问题规模变小

\[\sum_{p\in\mathbb P}\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor} [\gcd(i,j)=1] \]

发现 \(\gcd(i,j)=\gcd(j,i)=1\) ，那么里面只要枚举到 \(i\) 即可，乘2减1得：

\[\sum_{p\in\mathbb P}\left(\sum_{i=1}^{\left\lfloor\frac{n}{p}\right\rfloor}\left(2\sum_{j=1}^i [\gcd(i,j)=1]\right)-1\right) \]

math-phi-p1390.cpp

自己推下

\[\begin{aligned} & \sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{\gcd(i,j)}}\\ =& \sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{\sum_{d=1}^n{d[\gcd(i,j)=d]}}}\\ =& \sum_{d=1}^n{d\sum_{i=1}^n{\sum_{j=i+1}^n{[\gcd(\frac{i}d,\frac{j}d)=1]}\\}}\\ =& \sum_{d=1}^n{d\sum_{i=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{(\sum_{j=1}^{\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}{[\gcd({i},{j})=1]}-\sum_{j=1}^i{[\gcd({i},{j})=1]})}}\\ \end{aligned} \]

math-phi-p4450.cpp

\[\begin{aligned} & \sum_{a=1}^A\sum_{b=1}^B{[\gcd(a,b)=d]}\\ =& \sum_{a=1}^{\lfloor\frac{A}d\rfloor} \sum_{b=1}^{\lfloor\frac{B}d\rfloor}[\gcd(a,b)=1]\\ =& \end{aligned} \]

math-comb-p1446

对于某个计数元素 c ，求出 对于某个确定的变换 f ，有多少个变换 g 与其作用效果相同，即 c∘f=c∘g 。

c∘f=c∘g⟺c∘f∘g−1=c⟺(f∘g−1)∈G(c)

math-comb-p2561

本题有如下几种置换：

• 恒等 1个 ---- 不动点有 \(2^{n(n+1)/2)}\) 个

• 旋转 2个 ---- 一个置换不动点有 \(2^{\lfloor n(n+1)/2/3\rfloor}\) 个

• 翻折 3个 ---- 一个置换不动点有 \(\prod_{i=1}^n{2^{\lfloor i/2\rfloor}}\) 个

直接套用 Burnside 定理，使用 Python 计算，避免高精度