Spark _Exam_ 20240711

Spark Exam 20240711

Conclusion

比较可惜，做前面AB的时候状态不错，但是后面就不行了，C题直接想错了一个点，然后又没有继续想，D题确实不知道一些技巧，但是其实已经凑齐了正解的全部拼图，可以拿到 60-70 pts.

score240|rnk3|est260|ideal360|idealrnk2

A. flandre

Statement

定义一个序列的权值：

\[S(a)=\sum_{i}{a_i}+\sum_{i<j} \left\{\begin{aligned} &k && a_i<a_j\\ &-k && a_i>a_j\\ &0 && a_i=a_j \end{aligned}\right. \]

给定一个可重集，求将它的一个子集排序之后能够得到的权值的最大值。

Solution

可以证明，当选择集合 \(S\) 之后，一定按照升序排列，则对于大小为 \(|S|\) 的方案来说，一定要选择最大的那些，故降序排序 \(\mathcal O(n\log n)\) 解决。

B. meirin

Statement

对于序列 \(a,b\) ，维护操作：

1. 单点修改 \(b\)

2. 求 \(\sum_l\sum_r(\sum_{i\in[l,r]}a_i)\times(\sum_{j\in[l,r]}b_j)\)

Solution

拆掉下面的式子，尝试把式子变成点对贡献的问题（这样就多一个分讨），然后发现线段树做不了emm。这里的关键在于本题是全局查询，不需要、也很难维护区间，所以考虑维护一个前缀和后缀和，轻松愉悦 \(\mathcal O(n)\) 切掉。

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考试时的精神状态：

我有没有搞错，这个直接线段树是不是就解决了？
哦不是
拆一下式子看看
\sum_{i=[l,r]} (a_i\sum_{j=[l,r]} b_j)
每一个包含数对 (i,j) 的区间都会贡献一次 a_i*b_j
这个数量是(若i<=j) i*(n-j+1) 个区间
假设下面先算 i<=j 的情况 
\sum_i\sum_j a_i*b_j*i*(n-j+1)
\sum_i (a_i*i)\sum_j b_j*(n-j+1)
    |as1            |bs1
后面这个式子内的值，和i没有关系处理为 SUM
则优化至 O(N) i>j 则同理 
----------------------------------------
以上当然是不带修改的做法 
一旦修改，则 SUM 会发生变化

(b_j+k)*(n-j+1)
+= k*(n-j+1)
=k*(n+1)-k*j

什么，怎么感觉不用线段树？
现在补全一下 i>j
\sum_i\sum_j a_i*b_j*j*(n-i+1)
\sum_i a_i*(n-i+1)\sum b_j*j
    |as2            |bs2
还真的不用线段树？？？
什么玩意 我算错了吗 
不对，后面那个部分是有范围的
那就用线段树
把左边区间的 \sum_i(a_i*i) 和右边的 \sum_j b_j(n-j+1)
×起来贡献给答案即可
然后把左边区间的 \sum b_j*j 和右边的 \sum_i a_i*(n-i+1) 也这样
然后单独算 i==j \sum_i a_i*b_i*i*(n-i+1)
上面这些能够很快维护 SUM 的值，所以才可以打的上标记
O(n\log n) 
答案怎么维护？这个区间当前肯定已经考察了全部数对 (i,j)
对于 j,对左边的所有i多贡献k(n+1)-k*j
对于右边的多贡献 k*j 对总体区间多贡献
(j-l+1)(k(n+1)-k*j)+(r-j)k*j
jk(n+1)-kj^2-lk(n+1)+lkj+k(n+1)-kj+rkj-kj^2
这样，因为是全局查询，我们不应该维护这种利于区间查询的信息
而是对于要被修改的 j，总共多贡献：
    |SP
(\sum_{i<=j}a_i*i)*(k*(n+1)-k*j)+
(k*j)*(\sum_{i>j}a_i*(n-i+1))
            |SA
k(SP*(n+1)+(SA-SP)*j)
这样就又不用线段树了（雾 

C. sakuya

Statement

有点复杂跳过。

Solution

拆下期望，变成算 \(\sum \mathbf E(d(a_{i-1},a_i))\) ，然后概率对于 \(d(i,j)\) 都是一样的，就是 \((n-2)!\times {n-1\choose 1}/n!=1/n\) ，考虑再拆成边，这样修改的时候才好维护，就是 \(\sum cnt_i\times w_i\times 2/n\) （注意一条边正着反着都是同一条），然后这个 \(cnt_i\) 就是两边关键点数乘积，算一下然后维护就好了。