关于二分

二分

目录 Content

• 概述
• 实现与细节
• 问题与思考
• 经典应用：二分查找
• 经典应用：二分答案

Part 1 概述

I.二分是什么

二分是分治思想的应用，二分通过把问题分成两半，借助题目中的单调性抛弃一半的问题，从而节省时间。故时间复杂度往往是\(O(logn)\)的

II.二分能解决什么问题

二分可以解决具有单调性的问题。而且对于一些具有“最大的最小”“最小的最大”或者是可以使用二分优化的问题，可以将一个平方变成log

III.二分的条件

单调性。

Part 2 实现与细节

I.结构

int l=左界,r=右界,mid;
while(l<=r){
	mid=(l+r)/2;
   if(check(mid)) 转移边界
   else 转移边界
}
cout<<l;//或记录的ans

II.细节

二分有三个难点：

1. 如何判断截止条件
2. 如何转移边界
3. 如何快捷、准确地check(mid)

如果I、II错误，那么就有可能死循环或WA

而如果III错误，那么算法有可能WA或超时

其中，I、II是可以较为简单的避免的：

截止条件：普通二分l<=r,实数域上二分l+eps<=r

转移:普通二分l=mid+1或r=mid-1,实数域上二分把+1-1换成+eps-eps

Part 3 问题与思考

I.为什么用二分可以减少时间使用

因为二分一次抛弃一半不可能有答案的部分，所以可以减少时间使用

II.为什么需要单调性

因为如果没有单调性，那么二分抛弃的部分就有可能含有答案，从而出错

III.如何写出正确的二分

这是一个最致命的问题。我认为大致可以分为几个步骤：

1. 分析题目中的单调性（可能需要处理一下，例如排序）
2. 分析左右边界
3. 分析转移方式
4. 分析判断函数

这一步较为复杂，但是仍有需要注意的点：

1. 这个函数通常应该是bool函数
2. 其中包含答案的一侧返回true，一定不包含答案的一侧返回false

Part 4 经典应用：二分查找

这是二分法最基础的应用，最开始的问题是这样的：

在一个单调不减的序列a中查找第一个给定的数k的位置。
其中\(0<|a|\leq10^{11}\)

\(10^{11}\)的规模已经不允许我们使用O(n)的算法了。通常这个规模级别的问题都是对数阶复杂度的

二分查找的实现：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int num[N],n,k;
int main(){
int ans=-1,l=1,r=n,mid;
while(l<=r){
	mid=(l+r)/2;
   if(num[mid]>=k){
		if(num[mid]==k) ans=mid;
  		r=mid-1;
   }else l=mid+1;
}
cout<<ans;
return 0;
}

这里重点说说C++ STL提供的lower_bound和upper_bound

lower_bound(i,j,k,cmp)其中i,j是指针对应查找的开始和截止。k是目标元素，cmp是定义的比较方式（和sort一致）。这个调用在i~j之间寻找第一个\(\geq k\)的元素。

upper_bound()只和lower_bound()有一点不同，他是寻找第一个\(>k\)的元素

需要说明的是，他们返回的是指针，你可以通过指针相减的方式获取下标。

Part 5 经典应用：二分答案转判定

二分答案就是在答案空间中进行二分查找，通过判断合法性进行转移。

典例研究

伐木工人 Mirko 需要砍 MM 米长的木材。对 Mirko 来说这是很简单的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以如野火一般砍伐森林。不过，Mirko 只被允许砍伐一排树。

Mirko 的伐木机工作流程如下：Mirko 设置一个高度参数 HH（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 HH，并锯掉所有树比 HH 高的部分（当然，树木不高于 HH 米的部分保持不变）。Mirko 就得到树木被锯下的部分。例如，如果一排树的高度分别为 20,15,1020,15,10 和 1717，Mirko 把锯片升到 1515 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 15,15,1015,15,10 和 1515，而 Mirko 将从第 11 棵树得到 55 米，从第 44 棵树得到 22 米，共得到 77 米木材。

Mirko 非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请帮助 Mirko 找到伐木机锯片的最大的整数高度 HH，使得他能得到的木材至少为 MM 米。换句话说，如果再升高 11 米，他将得不到 MM 米木材。

Link
典型的二分答案。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,len[1000005],r,l=0x3f3f3f3f,mid;
int check(int idx)
{
	long long sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if(len[i]>idx) sum+=len[i]-idx;
	}
	if(sum>=m) return 1;
	else return -1;
}
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		cin>>len[i];
		l=min(l,len[i]);
		r=max(r,len[i]);
	 } 
	sort(len+1,len+1+n);
	while(l<=r)
	{
		mid=(l+r)/2;
		int res=check(mid);
		if(res==1) l=mid+1;
		else r=mid-1;
	}
	cout<<r;
}

EOF

谢谢观看。\(\huge{QwQ}\)