DP-笔记1

有些东西要记下来，不然就丢了。

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动态规划，是利用问题可以被划分为多个解法类似的子问题的性质，使用若干关键的、与解集有关的参数，称作“状态”，来描述每一个子问题。子问题是逐层推进、有依赖的，解决上一个子问题后留下的答案，是解决这个子问题需要的参数，这种层序，就是“阶段”。只有完成一个阶段的计算后，才能借助这个阶段的信息计算下一个阶段。最终达到解决整个大问题的目的。

从描述中，我们可以发现，动态规划所要解决的问题需要满足某些性质。

首先，这个问题要容易分成若干个解法类似的子问题，并且，这些子问题中有一些层次关系，低层次的问题可以导出高层次问题，这就被称为“最优子结构性质”

其次，只能是低层次的答案对高层次答案有贡献，否则就不具有一个明确的层次了，这就是“无后效性”。

现在再来考虑DP是如何优化暴力的。

以LIS问题为例。

考虑暴力地求解，那么我们可以枚举每一个位置，并且继续枚举它之后的每一个位置。

考虑DP是如何求解的，DP在进行的时候，直接从前面选择一个可以接上的长度接上。为什么呢？其实容易发现，这个问题在递归暴力处理时体现了很强的“无后效性”和“层序性”，而且对于每一个问题，考虑添加一个数之后的最优方案，就是如此解决。

再如LCIS。

考虑暴力解决问题，那么是不是要先枚举A中每一个上升子序列，再判断B中有没有？

再枚举时，我们发现，从x位置开始的上升子序列就是从x+1位置的上升子序列接上x

同样，在B中枚举也一样。

于是，我们可以直接排除不会产生答案的部分枚举了，直接由x+1推x的答案。

则我们发现，其实在以上枚举中，也出现了“阶段”的描述：我们要先枚举每一个A中的x，再在B中寻找子序列。

倒转一下定义，将以上枚举表示为f，f[x][y]指的是在以x结尾的A和以y结尾的B中的答案。

方程类似LCS，过。

其实上，这种关系如何从暴力推到的想说清很困难，但我本来就不打算给别人看。

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先去增维，再看冗余

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区间dp，如果想不出如何区间拼接，不妨想想如果从左边右边端点加一个会怎么样

P4170 [CQOI2007]涂色

所以说，对于一个这样那样的最优化问题，考虑为什么会产生极值，进行拟合，可能是一个好方法

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