（转）动态规划 - 最大子数组和（最大子序列和 | 连续子数组最大和）

原文作者：Yx.Ac   文章来源：勇幸|Thinking (http://www.ahathinking.com)  

DP方案

考虑DP求解。这个问题可以继续像LCS、LIS一样，“从后向前”分析（《编程之美》对此又是从前向后分析的，个人不太习惯）。我们考虑最后一个元素arr[n-1]与最大子数组的关系，有如下三种情况：

1. arr[n-1]单独构成最大子数组
2. 最大子数组以arr[n-1]结尾
3. 最大子数组跟arr[n-1]没关系，最大子数组在arr[0-n-2]范围内，转为考虑元素arr[n-2]

从上面我们可以看出，问题分解成了三个子问题，最大子数组就是这三个子问题的最大值，现假设：

1. 以arr[n-1]为结尾的最大子数组和为End[n-1]
2. 在[0-n-1]范围内的最大子数组和为All[n-1]

如果最大子数组跟最后一个元素无关，即最大和为All[n-2]（存在范围为[0-n-2]），则解All[n-1]为三种情况的最大值，即All[n-1] = max{ arr[n-1]，End[n-1]，All[n-2] }。从后向前考虑，初始化的情况分别为arr[0]，以arr[0]结尾，即End[0] = arr[0]，最大和范围在[0,0]之内，即All[0]=arr[0]。根据上面分析，给出状态方程：

All[i] = max{ arr[i]，End[i-1]+arr[i]，All[i-1] }

代码如下：

/* DP base version*/
#define max(a,b) ( a > b ? a : b)
 
int Maxsum_dp(int * arr, int size)
{
    int End[30] = {-INF};
    int All[30] = {-INF};
    End[0] = All[0] = arr[0];
 
    for(int i = 1; i < size; ++i)
    {
        End[i] = max(End[i-1]+arr[i],arr[i]);
        All[i] = max(End[i],All[i-1]);
    }
    return All[size-1];
}

上述代码在空间上是可以优化为O(1)的，这里就不说了，详参考《编程之美》2.14。

下面说一下由DP而导出的另一种O(N)的实现方式，该方法直观明了，个人比较喜欢，所以后续问题的求解也是基于这种实现方式来的。

仔细看上面DP方案的代码，End[i] = max{arr[i]，End[i-1]+arr[i]}，如果End[i-1]<0，那么End[i]=arr[i]，什么意思？End[i]表示以i元素为结尾的子数组和，如果某一位置使得它小于0了，那么就自当前的arr[i]从新开始，且End[i]最初是从arr[0]开始累加的，所以这可以启示我们：我们只需从头遍历数组元素，并累加求和，如果和小于0了就自当前元素从新开始，否则就一直累加，取其中的最大值便求得解。

到这里其实就可以了，在《编程之美》中，作者故意没有按照这种推导来实现（我猜的），而是在End[i-1]<0时，让End[i]=0，从而留出了一个问题（元素全是负数怎么办），其实如果按照上面的推导直接实现的话，就不存在这个问题了；（题外话：还是要坚持写博客做总结，这是一个重新思考的过程，这几天做这几道题发现当时也就看懂大部分，更多的细节和问题是在写博客重新整理的过程中发现的。后面扩展问题也是在整理过程中才发现了《编程之美》中的错误。）

基于上面的推导，代码如下：

/* DP ultimate version */
int Maxsum_ultimate(int * arr, int size)
{
    int maxSum = -INF;
    int sum = 0;
    for(int i = 0; i < size; ++i)
    {
        if(sum < 0)
        {
            sum = arr[i];
        }else
        {
            sum += arr[i];
        }
        if(sum > maxSum)
        {
            maxSum = sum;
        }
    }
    return maxSum;
}

其实上面的方法虽说是从DP推导出来的，但是写完发现也是很直观的方法，求最大和，那就一直累加呗，只要大于0，就说明当前的“和”可以继续增大，如果小于0了，说明“之前的最大和”已经不可能继续增大了，就从新开始，如此这样。

此题还有扩展，数组可以首位相连