一个有趣的问题：带锁的门

2012-8-29 18:08

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问题是这样的：

* 一条走廊上有n 个带锁的门编号1、2、3、……、n依次排列，门的初始状态都是关着的。

* 每一次都从1号门开始依次经过所有门，在第k次经过所有门时改变编号是k的整数倍的门的状态（即若门关着，就打开它，门开着，就关闭它），例如进行第一次时因为所有数都是1的倍数，所以会打开所有的门（注意所有门初始状态是关着的），进行第二次时改变所有编号是2的倍数的门的状态，进行第三次时改变所有编号是3的倍数的状态……，我们总共经过n次后停止。

问题：在最后一次经过所有门后，哪些门是打开的？

 

先计算问题答案：

对于这个问题，我先写了一个程序来看了看到底最后哪些门是开着的（代码及其实现细节在文章最后给出），运行程序后发现开着的门的编号都是完全平方数（即该数等于某正整数的平方），而其他门都是关着的。接下来分析为什么平方数是此问题的答案。

 

分析问题：

*基础过程分析：第k次经过这些门后，我们都会改变编号是k的倍数的门的状态，于是容易知道第k次过程结束后，编号小于等于k的门的状态就已经不会再变了，因为下一次就是第k+1次了，小于k+1的数不可能是k+1的倍数。

*进阶分析：有了上面的基础分析，我们可知对于k号门来说，假设k的所有约数为a,b,c，那么只有在第a和b和c次经过所有门时才会改变k号门的状态，其他次数经过k号门时，它的状态都不会变，现在我们可以把k号门的最终状态描述为一个数学问题，即k有多少个约数，若k有奇数个约数，则我们会改变k号门的状态奇数次，易知k号门最终是开着的，若k有偶数个约数，则我们会改变k号门的状态偶数次，同样易知k号门最终是关着的。

然后我们的证明就可以直逼最终答案了，我们只需证明对于所有正整数1、2、3、……、n，只有完全平方数的约数个数是奇数，其他所有数的约数个数均为偶数。

这种问题显然会涉及算数基本定理：任何一个比1大的正整数都能写成若干（>0）个质数的乘积的形式，且对于每一个被分解的数来说这种形式是唯一的，我们在写的时候会将乘积中相同的质数合并成一个质数的幂的形式，例如12 = 2^2*3^1；100 = 2^2*5^2。

故对于任意大于1的整数n，有n = P1^k1 * P2^k2 * P3^k3 * …… * Pi^ki；即我们把n用算数基本定理分解成了若干质数的乘积的形式，P表示质数，k表示P的指数。

容易证明n的约数个数等于(k1+1)*(k2+1)*(k3+1)*……(ki+1)，到这里已经看到答案了，要想知道最终哪些门是开着的，只需找到约数个数为奇数的编号就可以了，因此对于乘积(k1+1)*(k2+1)*(k3+1)*……*(ki+1) 来说，每一项(k+1) 都必须为奇数才能保证乘积结果为奇数，换句话说，只有每一个k都是偶数才能保证结果为奇数，下面我们证明只有完全平方数才具有这样的性质。

分两方面来证明：第一方面,若每一个k都是偶数，则n = P1^k1 * P2^k2 * P3^k3 * …… * Pi^ki = (P1^(k1/2)* P2^(k2/2) * P3^(k3/2) * …… * Pi^(ki/2))^2,即改变算数基本定理分解后的形式，给每一个偶数k除以2，再整体平方，将n化成了一个完全平方数的形式，到此我们证明了若门是开着的，则其编号必为完全平方数。第二方面：对于所有的完全平方数，都可以写成两个相同正整数的乘积（这是完全平方数的定义），设完全平方数S = M^2，然后将这个M分解以后得到S = (P1^j1 * P2^j2 * P3^j3 * …… * Pi^ji)^2 = P1^2j1* P2^2j2 * P3^2j3 * …… * Pi^2ji，其形式等同于k为偶数时S = P1^k1 * P2^k2 * P3^k3 * …… * Pi^ki,即证明了所有完全平方数都有奇数个约数。

至此，我们终于证明了只有编号为完全平方数的门最终是开着的！

 

分析问题可以明显看出此问题的二进制模型——门的开和关，马上想到用bitset轻松建立多个门排列在一条走廊上的模型。特别注意bitset的最低位的位置，高位在前，即0位是最右边一位,因此最右边一位代表1号门。
验证此过程的C++代码

/**
* n个带锁的门编号1、2、3、……、n依次排列，初始状态是锁着的。
* 每一次都从1号门开始依次经过所有门，在第i次经过时改变i的整数倍号锁的状态（仅含开关两种状态）
* 以下程序验证上题会发现整个流程结束后，编号为平方数的锁是开着的，其他都是关着的
* 谜之音：哈？六万个门？…………开一遍就跪了…………
*/
#include <iostream>
#include <bitset>
using namespace std;
int main() {
    //门的数目，定为60000
    const int size = 60000;
    //门数加1，用于修正循环体i的极限值
    const int size_plus = size + 1;
    ///使用bitset实现，位序列号代表门编号，该位是0代表锁是关闭的，1代表锁是打开的
    ///特别注意bitset的最低位的位置，高位在前，即0位是最右边一位,因此最右边一位代表1号门
    bitset<size> bitset_door;

    ///循环实现，在第i次经过时改变i的整数倍号锁的状态，flip()取反即可
    cout<<"calculating…………"<<endl;
    for (int i = 1; i!=size_plus; ++i) {
        for (int j = i; j!=size_plus; ++j) {
            if (j%i==0) {
                bitset_door.flip(j-1);
            }
        }
    }
    cout<<"complete !"<<endl;
    ///输出结果，输出开着的门的编号
    for (int i = 0; i!=size; ++i) {
        if (bitset_door[i]==1)
            cout<<i+1<<endl;
    }
    return 0;
}