变换矩阵及其应用

1.3D坐标系统

　　OpenGL中的坐标大体是右手坐标系。（Direct3D中大体是左手坐标）。

2.空间点表示方法

　　OpenGL更多使用齐次坐标（x,y,z,w），齐次坐标使图形学计算更高效。GLSL中【vec4】和【vec3】类型可以分别用来存储三元和四元向量（点）。

3.向量

　　向量表示大小和方向。移动向量并不改变它的意义。一般用空间中某个单点表示向量，它到原点的距离就是它的大小，方向则是它到远点的方向。也可以用两点差表示，同理原点表示。存储方法同点。

　　向量操作有：

　　　　加减法：略；GLSL方法：vect3 +vec3

　　　　归一化（长度变为1）：a = A/|A| = A/sqrt（U² +V² + W²），其中|A|为向量长度.GLSL方法：normalize（vec3）或normalize（vec4）

　　　　点积：A • B = ux + vy + wz。GLSL方法：dot（vec3，vec3）或dot（vec4，vec4），点积用来求解两向量夹角：A • B =|A||B|cos（θ），应用此公式也可求两向量是否平行或垂直。

　　　　叉积：A X B = （vz - wy，wx - uz， uy - vx）。GLSL方法：cross（vec3，vec3），叉积会生成一个新的向量，它垂直于之前的两个向量。应用此特性可以求两向量定义的平面的法向量（遵循右手定则）。

4.矩阵

　　在3D图形计算中用到的矩阵大多数是4x4的矩阵。GLSL中【mat4】数据类型用来存储4x4矩阵。GLSL默认支持矩阵运算。

　　（1）.单位矩阵

　　　　一条对角线上值为1，其余值为0；任何值乘以单位矩阵都不会改变。

　　（2）.矩阵转置

　　　　交换矩阵的行和列来置换矩阵。GLSL库置换函数为：【transpose（mat4）】.

　　（3）.矩阵乘法

　　　　矩阵乘法左乘和右乘是不同的，所以矩阵乘法不满足交换律。点与矩阵相乘通常从右到左，得到点。即点在右边，变换矩阵在左边，结果为点。矩阵乘法满足结合律，即 矩阵ax矩阵bx点q = （矩阵ax矩阵b）x点q

5.变换矩阵

　　图形学中，矩阵通常用来进行物体变换，变换物体的位置、形状、大小等。

　　（1）.平移矩阵

　　　　平移矩阵用于移动物体的位置。平移矩阵包含一个单位矩阵；同时x、y、z轴的移动量在A03、A13、A23。用它右乘一个点，即可“移动“这个点。GLSL方法：【mat4 x vec4】。

　　（2）.缩放矩阵

　　　　缩放矩阵用于改变物体的大小，或者将点向原点相反方向移动。缩放矩阵由单位矩阵和位于A00、A11、A22的X、Y、Z轴缩放因子组成。用它右乘一个点，即可将该点向原点相反方向移动（如果是一个物体的点击，即缩放了该物体）。GLSL方法：【mat4 x vec4】。

　　　　缩放还可以用来切换坐标系，即反转Z坐标。矩阵为单位矩阵中A22值设为-1。

　　（3）.旋转矩阵

　　　　绕X轴旋转θ度：由单位矩阵并且A11 = consθ，A12 = = -sinθ，A21 = sinθ，A22 = consθ组成。GLSL方法：【mat4 x vec4】。

　　　　绕Y轴旋转θ度：由单位矩阵并且A00 = consθ，A02 = = sinθ，A20 = -sinθ，A22 = consθ组成。GLSL方法：【mat4 x vec4】。

　　　　绕Z轴旋转θ度：由单位矩阵并且A00 = consθ，A01 = = -sinθ，A10 = sinθ，A11 = consθ组成。GLSL方法：【mat4 x vec4】。

　　　　反向旋转的矩阵等于其转置矩阵。欧拉角旋转法在某些3D图形应用中会导致一些瑕疵，但是对于大多数需求，它足够了；在实践中，当旋转轴不穿过原点时，需要进行如下几个步骤进行旋转：

　　　　　　#1 平移旋转轴使它经过原点

　　　　　　#2 绕X、Y、Z轴旋转

　　　　　　#3 复原#1中的平移

 

人皆寻梦，梦里不分西东；寻乐不堪困苦，未识苦与乐同。

未完待续~