OI数学公式汇总

前言

明天就是大名鼎鼎的 CSP 了，由于好渴鹅的数学过于 Vegetable Chicken，如果可爱的 €€£ 考到了数学的话，好渴鹅估计就得吃席了，因此好渴鹅翻遍了网上各种资料，整理出了以下的公式。

组合数学

前置芝士

排列数

\(n\) 个元素中取出 \(m\) 个元素，考虑顺序下的方案数、

\[A^m_n=\frac{n!}{(n-m)!} \]

组合数

在 \(n\) 个元素中选择 \(m\) 个元素并不考虑顺序，取出的方案就是组合数。

\[C^m_n=\frac{n!}{m!(n-m)!} \]

费马小定理

\[a^{p-1}\equiv 1\mod p \]

二项式定理

\[(1+x)^n=C^0_n+C^1_n x+C^2_n x^2+C^n_n x^n \]

组合数的算法

杨辉三角公式法，时间复杂度 \(\mathcal O(n^2)\)，可支持数据范围 \(1\le n\le 1000\)。使用公式：

\[C^m_n=C^m_{n-1}+C^{m-1}_n \]

证明：

\(\begin{aligned} C^m_{n-1}+C^{m-1}_n&=\frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}+\frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!}\\ &=\frac{(n-1)!}{m!(n-m)!}[r+(n-r)]\\ &=\frac{n!}{m!(n-m)!} \end{aligned}\)