洛谷1990（递推）

概述
这是一道典型的递推题型，代码量简短，本文主要分析一下递推公式。（本菜菜什么时候看到这种递推题目能快速的公式啊）
题目来源
https://www.luogu.com.cn/problem/P1990

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# 覆盖墙壁

## 题目描述

你有一个长为 $N$ 宽为 $2$ 的墙壁，给你两种砖头：一个长 $2$ 宽 $1$，另一个是 L 型覆盖 $3$ 个单元的砖头。如下图：

0 0
0 00

砖头可以旋转，两种砖头可以无限制提供。你的任务是计算用这两种来覆盖 $N\times 2$ 的墙壁的覆盖方法。例如一个 $2\times3$ 的墙可以有 $5$ 种覆盖方法，如下：

012 002 011 001 011
012 112 022 011 001

注意可以使用两种砖头混合起来覆盖，如 $2\times4$ 的墙可以这样覆盖：

0112
0012

给定 $N$，要求计算 $2\times N$ 的墙壁的覆盖方法。由于结果很大，所以只要求输出最后 $4$ 位。例如 $2\times 13$ 的覆盖方法为 $13465$，只需输出 $3465$ 即可。如果答案少于 $4$ 位，就直接输出就可以，不用加前导 $0$，如 $N=3$ 时输出 $5$。

## 输入格式

一个整数 $N$，表示墙壁的长。

## 输出格式

输出覆盖方法的最后 $4$ 位，如果不足 $4$ 位就输出整个答案。

## 样例 #1

### 样例输入 #1

13

### 样例输出 #1

3465

## 提示

数据保证，$1\leq N\leq 1000000$。

递推公式
设覆盖n*2的墙需要f[n]个砖，当n=0时，表示不需要砖，此时方案数为1，即f[0]=1;当n<0时没有意义

• 当最后一列放一个2*1的砖块，这种情况数显然是f[n-1]。
  

• 当最后两列是两个横着放的2*1砖块时，这种情况显然是f[n-2]。
  

• 最后一种情况，也是最重要的情况，就是最后是“L”型的砖块时，可以发现只要放一个与之相对的“L"型砖块，就可以获得一个标准的长方形，这也是我们想要的，同时，可以发现，在这两个砖块之间可以加入任意对交替排列的2*1砖块，这种排列只有一种，所以第三种情况数是f[n-3]+f[n-4]+f[n-5]+...(另一种方向相对的"L"型砖块与这种情况相同，作为一种情况考虑。
  

• 最后的公式就是f[n]=f[n-1]+f[n-2]+2*(f[n-3]+f[n-4]+...+f[0]),公式是正确的，但是我们发现在所给的数据范围进行O(n²)的复杂度会超时，我们可以使用前缀和。那么最后的递推公式为：f[n]=pre[n-1]+pre[n-3]
  实现代码

using namespace std;
int INT=10000;
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    int f[n+1]={0};
    int pre[n+1]={0};
    f[0]=1;f[1]=1;f[2]=2;
    pre[0]=1;pre[1]=2;pre[2]=4;
    for(int i=3;i<=n;i++){
        f[i]=(pre[i-1]+pre[i-3])%INT;
        pre[i]=(pre[i-1]+f[i])%INT;//更新前缀和
    }
    cout<<f[n]<<endl;
}