数位DP

数位 \(DP\)

前言

终于有时间来填这个大坑了啊。

数位 \(DP\) 是一种比较冷门的动态规划问题。

其一般都具有以下特征：

出现连续的数字

失去某一位，不能选哪个数

整除某个数字

在一个区间里面寻找合法解的数量

打法

递推法 和 递归法在数位 \(DP\) 中较为常见。

递推法为先处理出普遍的情况，再一位一位填数。

而递归法是运用记忆化搜索的思想，转 \(DP\) 为搜索，在枚举的过程中即填完数。常数较大，但好写好理解。

这里着重讲一下 递归法 的模板。

我们的传参中有这么几个：

\(pos\) : 目前在哪一位

\(val\) : 此位选的值

\(limit\) : 关于这一位是否有最大选的限制 (会细讲)

\(head\) : 此位是否为前导零

最后是记忆化搜索最需要的东西 : \(dp\) 数组。

其实这个东西是有板子的，就像数据结构一样。

\(limit\) 用法详解

由于我们是在一位一位的枚举，一位一定是有取的最大数字的。

正常来说，一个个位数字的取值范围是在 \([0 , 9]\)

但是我们举个例子：

\[114514 \]

假设我们第一位和第二位均取 \(1\) , 而第三位我们显然不能取 \([0 , 9]\) , 而是 \([0 , 4]\)

但如果是在第二位我们取 \(0\) , 显然我们此时可以取 \([0 , 9]\) 了。

于是我们得到了 \(limit\) 的转移式：

\[limit' = limit \ \& \ (i == Up) \]

\(i\) 为我们这次的枚举量， \(Up\) 为在取满时的最大值(和 \([0 , 4]\) 一样)

还是很好想的对吧 😃

\(limit\) 的一些注意事项

首先我们要注意的是，当此位是受 \(limit\) 时， \(dp\) 是无法转移的。

若这位是被限制时，显然他是无法跑满的。 \([0 , 4]\) 是要比 \([0 , 9]\) 区间要小很多的。

同理哈，若此位是 \(limit\) 时，被保存的 \(dp_{pos , val}\) 同样无法使用。

\(Code\) -- 模板

CODE

int dfs(int pos , int val , int limit , int head) {
    if (pos == 1) // 递归边界
    if (!limit && dp[pos][val] != -1) return dp[pos][val] ; // 记忆化

    // 处理前导零

    int Up = limit ? a[i] : 9 , ret = 0 ; 

    for (int i = 0 ; i <= Up ; ++ i) {
        ret += dfs(pos - 1 , i , limit & (i == Up) , 0) ; // 统计答案
    }

    return limit ? ret : dp[pos][val] = ret ; 
}