点位精度评定

 

目录

第1章点位精度评定    1

1.1 简介    1

1.2 期望    1

1.3 方差    2

1.4 标准差    2

1.5 协方差    2

1.6 DRMS    3

1.7 2DRMS    3

1.8 CEP    3

1.9 CEP95    3

1.10 CEP99    4

1.11 对比    4

1.12 SEP    4

1.13 误差椭圆    5

1.14 置信椭圆    5

1.15 误差椭球    6

1.16 求解误差椭球    7

1.17 置信椭球    9

 

 

第1章点位精度评定

1.1 简介

下图显示了一系列的散点。点位精度评定就是计算一些数值，用来评定这些点的离散程度。精度评定数值越小说明点的离散程度越小，精度越高。

1.2 期望

上图的圆心和椭圆中心，是散点的真实位置。假定其坐标为，那么就是随机变量的期望，就是随机变量的期望。

期望的数值，有可能是已知的，也可能是未知的。在未知的情况下，需要对期望进行估值。一般情况下，期望的估值采用的是算术平均值，即：

1.3 方差

方差用来描述随机变量的离散程度，它的数值越小说明离散度越低。

随机变量的方差：    

随机变量的方差：    

注意：如果随机变量的期望使用的是估计值，则方差的估值为。把改成的原因在于：求出后，的自由度由变成了。

1.4 标准差

标准差也叫中误差，它是方差的平方根，即：

随机变量的标准差：     或

随机变量的标准差：     或

1.5 协方差

随机变量、之间的协方差：

同样的，如果期望和使用的是估计值，则按下式计算

1.6 DRMS

离散随机变量的均方根RMS（Root Mean Square）为：

点位误差里的RMS其实是距离均方根差（DRMS），即：

将代入上式，可得

1.7 2DRMS

双倍距离均方根的计算公式如下：

1.8 CEP

圆概率误差CEP（Circular Error Probable）的含义：以为圆心，CEP为半径画一个圆，点落入圆内的概率为50%。其计算公式如下：

1.9 CEP95

CEP95（也被称之为R95）的含义：以为圆心，CEP95为半径画一个圆，点落入圆内的概率为95%。其计算公式如下：

1.10 CEP99

CEP99的含义：以为圆心，CEP99为半径画一个圆，点落入圆内的概率为99%。其计算公式如下：

1.11 对比

CEP、CEP95、CEP99之间是有严格的比例关系的；DRMS、2DRMS之间也是有严格的比例关系的；那么CEP与DRMS有什么关系呢？

假定，则：，。此时。

换句话说就是CEP与DRMS之间有着近似的转换公式：

这几个统计量从小到大依次为：CEP、DRMS、CEP95、2DRMS、CEP99。

以为圆心，各个统计量为半径，点落入这个圆的概率见下表：

统计量	概率
CEP	50%
DRMS	63%~68%
CEP95	95%
2DRMS	95%~98%
CEP99	99%

1.12 SEP

SEP的含义：以为球心，SEP为半径画一个圆球，点落入球内的概率为50%。其计算公式如下：

1.13 误差椭圆

在二维平面内，点位沿着任意方向的方差按下式计算：

化简后可得：

上式中

注意：表示原点到的方位角。

当时（）取最大值；

当时（）取最小值。

这里就是误差椭圆的长半轴，就是误差椭圆的短半轴，是长半轴的方位角。

1.14 置信椭圆

长半轴为、短半轴为的椭圆被称之为标准误差椭圆。置信椭圆是标准误差椭圆的倍。

点落入置信椭圆内的概率为

将代入上式可求出点落入标准误差椭圆内的概率为39.35%。也就是说置信度39.35%的置信椭圆就是标准误差椭圆。

1.15 误差椭球

在三维空间，点位沿着任意方向的方差按下式计算：

上式中的是随机变量的方差、协方差矩阵。

注意方向是单位向量，即满足

现在的问题是：何时最大？何时最小？它的实质就是在满足的条件下，求出的极值。

可根据拉格朗日乘数法求极值，其步骤为：

构造拉格朗日函数，然后求解如下方程组：

记（即一个数对一个列向量求导），则。根据上式可知取极值时。

满足的是矩阵的特征值，而是与对应的特征向量。表示需要将特征向量单位化。

求出矩阵的特征值和特征向量后，矩阵可被对角化，即：

上式中是由特征值组成的对角阵，即。

矩阵的第列是对应的单位特征向量。此时：

记，它的几何意义为：对向量做正交变换，得到向量，此时：

这里就是误差椭球的三个半轴，从大到小依次为长半轴、中半轴、短半轴。这三个半轴的方向就是特征向量的方向，它们是相互垂直的。

以椭球的三个半轴分别为轴建立一个新的三维直角坐标系，坐标系到的正交变换矩阵就是。

1.16 求解误差椭球

本节将求解矩阵的特征值、特征向量

注意上式中：

展开后可以得到一个一元三次方程：，其中

可以去除这个一元三次方程的二次项，如下式所示：

其中

一元三次方程的三个根为：

上式中

这三个根就是矩阵的特征值。因为是正定的，所以这三个特征值必定都是大于零的实数。

下面是矩阵的伴随矩阵：

将代入上式，每一列就是对应的一个特征向量，请选用长度最大的特征向量并将其单位化。

注意：按上述方法求出的特征向量有可能为零，此时至少有两个特征值是相等的。换句话说就是上述求解特征向量的算法要求三个特征值均不相等。

1.17 置信椭球

三个半轴为的椭球是标准误差椭球，置信椭圆是标准误差椭圆的倍。

点落入置信椭球内的概率为

将代入上式可求出点落入标准误差椭球内的概率为19.87%。也就是说置信度19.87%的置信椭球就是标准误差椭球。