初中数学-有理数的概念（乘除法）

有理数的概念（乘除法）

乘法法则

有理数的乘法有以下法则：

• 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘
• 任何数同 \(0\) 相乘，结果都为 \(0\)
• 乘积为 \(1\) 的两个数互为倒数

比如 \(3 \times 3 = |3| \times |3| = 9\)

比如 \((-2) \times (-3) = |2| \times |3| = 6\)

比如 \(4 \times (-3) = |4| \times |-3| = -12\)

当多个不为 \(0\) 的有理数相乘时，积的符号取决于负因数的个数。

• 负因数个数为奇数时，积为负
• 负因数个数为偶数时，积为正

比如 \((-3) \times (-2) \times 3 \times 4 \times (-5)\) 有 \(3\) 个负数，积是负结果。

比如 \((-3) \times (-2) \times (-1) \times (-5)\) 有 \(4\) 个负数，积是正结果。

有理数乘法的运算率如下：

• 交换律：两个数相乘交换因式的位置，积不变，如 \(a \cdot b = b \cdot a\)
• 结合率：多个数相乘，先相乘前面的数或先相乘后面的数，结果不变，如 \(a \cdot b \cdot c = a \cdot(b \cdot c)\)
• 分配率：一个数同两个数和的积，等于将这个数分别与其他两数相乘，再把积相加，如 \(a \cdot(b + c) = ab + ac\)

除法法则

有理数的除法是乘法的逆运算，法则如下：

• 除以一个不为 \(0\) 的数，等于乘以这个数的倒数
• 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除
• \(0\) 除以任何一个不为 \(0\) 的数，都为 \(0\)

比如 \(a \div b = a \cdot \frac{1}{b}(b \neq 0)\)。

本章节例题

1. 计算 \((+3 \frac{1}{7}) \times (3 \frac{1}{7} - 7 \frac{1}{3}) \times \frac{7}{22} \times \frac{21}{22}\)：

   解：

   • = \(\frac{22}{7} \times \frac{7}{22} \times \frac{21}{22} \times (\frac{22}{7} - \frac{22}{3})\)（代分数转换为假分数，实际上 \((+3 \frac{1}{7}) = \frac{22}{7}\)，括号后面的也同样进行转换）
   • = \(\frac{21}{22} \times (\frac{22}{7} - \frac{22}{3})\)
   • = \(\frac{21}{22} \times \frac{22}{7} + \frac{21}{22} \times \frac{22}{3}\)
   • = \(3 - 7\)
   • = \(-4\)
   
   

2. 计算 \(-7 \times (-\frac{14}{19}) + 13 \times (-\frac{14}{19}) - 6 \times (-\frac{14}{19})\)：

   解：

   • = \((-\frac{14}{19}) \times [(-7) + 13 - 6 ]\)
   • = \((-\frac{14}{19}) \times 0\)
   • = \(0\)
   
   

3. 计算 \((-3) - [-5 + (1 - 0.2 \times \frac{3}{5}) \div (-2)]\)：

   解：

   • = \((-3) - [-5 + (1 - \frac{1}{5} \times \frac{3}{5}) \times (-\frac{1}{2})]\)
   • = \((-3) - [-5 + (1 - \frac{3}{25}) \times (-\frac{1}{2})]\)
   • = \((-3) - [-5 + (\frac{22}{25}) \times (-\frac{1}{2})]\)
   • = \((-3) - [-5 + (-\frac{11}{25})]\)
   • = \((-3) - [-5 \frac{11}{25}]\)
   • = \((-3) + 5 \frac{11}{25}\)
   • = \(2 \frac{11}{25}\)
   
   

4. 已知 \(a\), \(b\) 互为倒数，\(c\), \(d\) 互为相反数，\(|m| = 5\)，求 \(\frac{ab}{m} + c + d + m\) 的值：

   解：

   • \(\because\) \(a\) 和 \(b\) 互为倒数，根据乘法法则，他们的乘积为 \(1\)
   • \(\because\) \(c\) 和 \(d\) 互为相反数，根据加法法则，他们的和为 \(0\)
   • \(\because\) \(|m| = 5\)
   • \(\therefore\) \(m = \pm5\)
   • 当 \(m\) 为 \(5\)，\(\frac{ab}{m} + c + d + m = \frac{1}{5} + 0 + 5 = 5 \frac{1}{5}\)
   • 当 \(m\) 为 \(-5\)，\(\frac{ab}{m} + c + d + m = \frac{1}{-5} + 0 + (-5) = -5 \frac{1}{5}\)
   • \(\therefore\) 结果为 \(\pm5 \frac{1}{5}\)