初中数学-有理数的概念（加减法）

有理数的概念（加减法）

加法法则

有理数的加法有以下法则：

• 同符号两数相加，取相同符号并把绝对值相加
• 异符号且绝对值不相等的两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值作为结果，若两个数互为相反数，则和为 \(0\)
• 任何一个数与 \(0\) 相加，结果为 \(0\)

比如 \(2 + 3 = |2| + |3| = +5 = 5\)。

比如 \((-2) + (-3) = |-2| + |-3| = -5\)。

比如 \(3 + (-2) = |3| - |-2| = 1\)。

有理数加法的运算律如下：

• 交换律：两个相加数交换，和不变，如 \(a + b = b + a\)
• 结合率：多个数相加，先加前面的数或先加后面的数，结果不变，如 \((a + b) + c = a + (b + c)\)

减法法则

有理数的减法是加法的逆运算，法则如下：

• 减去一个数等于加上这个数的相反数

比如 \(5 - 4 = 5 + (-4) = |5| - |-4| = 1\)。

优先计算

有理数加减时，可考虑以下事项进行优先计算：

• 若两个数互为相反数，可优先相加（结果为 \(0\)）
• 若几个数的和为整数，可优先相加
• 若是分数相加，可考虑同分母的分数优先相加
• 把同符号的数相加，最后再进行相减

本章节例题

1. 计算 \((-0.125) + (+5) + (-7) + (+\frac{1}{8}) + (+2)\)：

   解：

   • = \([(-0.125 + \frac{1}{8})] + [(5 + 2)] + (-7)\)
   • = \([(-0.125 + 0.125)] + (5 + 2) + (-7)\)
   • = \(0 + 7 + (-7)\)
   • = \(0\)

2. 计算 \(-0.1 - (-8 \frac{1}{3}) + (+11 \frac{2}{3}) - (- \frac{1}{10})\)：

   解：

   • = \(-0.1 + 8 \frac{1}{3} + 11 \frac{2}{3} + \frac{1}{10}\)
   • = \((-0.1 + \frac{1}{10}) + (8 \frac{1}{3} + 11 \frac{2}{3})\)
   • = \(0 + 20\)
   • = \(20\)

3. \(1 \frac{3}{4} + (-6.5) + 3 \frac{3}{8} + (-1.75) + 2 \frac{5}{8}\)

   解：

   • = \([1 \frac{3}{4} + (-1.75)] + (3 \frac{3}{8} + 2 \frac{5}{8}) + (-6.5)\)
   • = \(0 + 6 + (-6.5)\) = \(-0.5\)

4. 某公路检修队乘车从 \(A\) 地出发，在南北向的公路上检修道路，规定向南为正，相北为负，从出发到收工所行驶的路程记录为（单位: 千米）：
   \(+2\)，\(-8\)，\(+5\)，\(+7\)，\(-8\)，\(+6\)，\(-7\)，\(+12\)。收工时，检修队在 \(A\) 地的哪边？距 \(A\) 地多元？汽车行驶中，每走 \(1\) 千米耗油 \(0.2\) 升，则检修队从 \(A\) 地触发到收工时，共耗油多少升？

   解提问（1）：

   • = \(+2 + (-8) + (+5) + (+7) + (-8) + (+6) + (-7) + (+12)\)
   • = \((2 + 5 + 7 + 6 + 12) + [(-8) + (-8) + (-7)]\)
   • = \(32 + (-23)\)
   • = \(9\)
   • 答：收工时，检修队在南，相较于 \(A\) 第 \(9\) 米
   
   

   解提问（2）：

   • 先求出绝对值的和，得出检修队所走的距离：
   • = \(|+2| + |-8| + |+5| + |+7| + |-8| + |+6| + |-7| + |+12|\)
   • = \(2 + 8 + 5 + 7 + 8 + 6 + 7 + 12\)
   • = \(55\)
   • 再求出路程的耗油量：
   • = \(55 \times 0.2\)
   • = \(11\)
   • 答：从 \(A\) 地出发到收工，共耗油 \(11\) 升

5. 若 \(|a| = 21\)，\(|b| = 27\)，且 \(|a + b| = -(a + b)\)，求 \(a - b\) 的值：

   • \(\because\) \(|a| = 21\), \(|b| = 27\)
   • \(\therefore\) \(a = \pm21\), \(b = \pm27\)
   • \(\because\) \(|a + b| = -(a + b)\)
   • \(\therefore\) \(a + b \leq 0\)（根据绝对值定义，只有当 \(a + b \leq 0\) 时，才等于 \(-(a + b)\)）
   • \(\therefore\) \(a = 21\), \(b = -27\) 或 \(a = -21\)， \(b = 27\)
   • 当 \(a = 21\)，\(b = 27\) 时，\(a - b = 21 - (-27) = 48\)
   • 当 \(a = -21\), \(b = -27\) 时，\(a - b = -21 - (-27) = 6\)
   • \(\therefore\) \(a - b\) 的只为 \(48\) 或 \(6\)

6. 有理数 \(a\)，\(b\)，\(c\) 在数轴上的位置如图所示，请化简 \(|c - b| + |a - c| + |b + c| + |a + b|\)：

解：

• 由图可知 \(c < b < 0 < a\)
• 故 \(|c| > |b| > |a|\)
• \(\therefore\) \(c - b < 0\)，\(a - c > 0\)，\(b + c < 0\)，\(a + b < 0\)（\(a\) 的绝对值小于 \(b\) 的绝对值，且 \(b\) 为负数，故这里 \(a + b\) 是小于 \(0\) 的）
• = \(-(c - b) + (a - c) + [-(b + c)] + [-(a + b)]\)
• = \(b - c + a - c + (-b) + (-c) + (-a) + (-b)\)（\(-(c - b)\) 的相反数就是 \(b - c\)，而负 \(-(b + c)\) 的相反数就等于 \(-(b) + (-c)\)，同理 \([-(a + b)]\) 的相反数就等于 \((-a) + (-b)\)）
• \(-b - 3c\)