初中数学-有理数的概念（正负数与数轴）

有理数概念（正负数与数轴）

正数和负数

正数是大于 \(0\) 的数，负数是小于 \(0\) 的数，而 0 既不属于正数也不属于负数。

在正数前面加上 \(-\) 符号就可定义一个负数。

正数和负数表示相反意义的量。

有理数定义

有理数由整数和分数构成。

按照定义分类：

按照性质分类：

数轴的定义

数轴的定义为：规定了原点，正方向，单位长度的直线。

数轴的原点左方通常表示为负数，而右方表示为正数，如下所示：

下面的图形不是一个数轴，因为相同距离的单位是不同的：

下面的图形也不是一个数轴，因为没有原点：

什么是相反数

代数定义上来说，只有符号不同的两个数，才被称为互为相反数。相反数是成对出现的，比如 \(2\) 和 \(-2\)。

而从几何定义上来讲则是位于原点两侧且距离原点相同的两个数则为相反数。比如下图中 \(-1\) 和 \(1\) 就互为相反数：

负 \(3\) 的相反数：

\(-3 \to -(-3)\)

再求相反数：

\(-3 \to -[-(-3)]\)

若 a，b 互为相反数，可得出：

• \(a + b = 0\)
• \(a = -b\)
• 若 \(a \neq b\)，则 \(\frac{b}{a} = -1\)，比如 \(-5 \div 5 = -1\) 或者 \(5 \div -5 = -1\)。

多重符号化简

化简原则如下：

• 正号的个数不影响最终结果，可以直接去掉符号
• 偶数个负号不影响最终结果，可以直接去掉符号
• 奇数个符号最终只保留一个负号

举例：

• \(-(+3) \to -3\) 符合第一条，直接把正号去掉
• \(-(-3) \to 3\) 符合第二条，直接把负号去掉
• \(-[-(-3)] \to -3\) 符合第三条，只保留一个负号
• \(+\{-[-(+3)]\}\to 3\) 符合第一条，第二条，正数去掉，负号偶数直接去掉

本章节例题

1. 若自行车条长度比标准长度长 \(2mm\)，记作 \(+2mm\)，则比标准长度短 \(2mm\) 记作 \(\underline{-2mm}\), 恰好等于标准长度，记作 \(\underline{0}\)。

2. 向东走 \(-6\) 米，实际是向 \(\underline{西}\) 走 \(\underline{6}\) 米。

3. 把下面各数分类： \(\frac{1}{3}\), \(-5\)，\(0.49\)，\(8\)，\(0\)，\(3.14\)，\(\frac{22}{7}\)，\(-3.28\)，\(+300%\)，-\(\frac{10}{5}\)，\(4.9237\)，\(1万\)

   • 正整数：\(\underline{8，+300，1万}\)
   • 负整数：\(\underline{-5，\frac{10}{5}}\)
   • 分数：\(\underline{\frac{1}{3}，0.49，3.14，\frac{22}{7}，-3.28，4.9237}\)
   • 整数：\(\underline{-5，8，1万}\)
   • 负数：\(\underline{-5，-3.28，\frac{10}{5}}\)
   • 正数：\(\underline{\frac{1}{3}，0.49，8，3.14，\frac{22}{7}，+300\%，4.9237，1万}\)

4. 已知有理数 \(a，b\) 在数轴上的位置如图所示，比较 \(a，b，-a，-b\) 的大小：\(\underline{-a > -b > 0 > -b > a}\)

   

5. 已知 \(3m - 2\) 与 \(-7\) 互为相反数，求 \(m\) 的值为 \(\underline{3}\)

   • \(-7\) 的相反数是 \(7\)
   • \(7 * 2 = 9\)
   • \(3 * 3 = 3\)
   • \(3 * 3 - 2 = 7\)