[BZOJ2705][SDOI2012]Longge的问题 数学

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2705

首先分析得题目所求$gcd(i,N)$的取值只可能是$N$的因子，则有$$Ans=\sum_{d|N}d\sum_{i=1}^N[gcd(i,N)==d]$$

$$Ans=\sum_{d|N}d\sum_{i=1}^{\frac{N}{d}}[gcd(i,\frac{N}{d})==1]$$

$$Ans=\sum_{d|N}dφ(\frac{N}{d})$$

我们可以枚举$N$的因子，然后用$O(\sqrt{N})$的时间求φ。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
ll N;
ll Phi(ll x){
    int M=floor(sqrt(x));
    ll ret=x;
    for(int i=2;i<=M;i++){
        if(x%i==0){
            ret=ret/i*(i-1);
            while(x%i==0) x/=i;
        }
    }
    if(x>1) ret=ret/x*(x-1);
    return ret;
}
int main(){
    scanf("%lld",&N);
    int M=floor(sqrt(N));
    ll Ans=0;
    for(int i=1;i<=M;i++){
        if(N%i==0){
            Ans+=Phi(N/i)*i;
            if((ll)i*i<N) Ans+=Phi(i)*(N/i);
        }
    }
    printf("%lld\n",Ans);
    return 0;
}