[BZOJ2005][NOI2010]能量采集 数学

题目链接：http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=2005

发现与$(0,0)$连线斜率相同的点会被挡住。也就是对于$(a,b)$且$gcd(a,b)==1$，在这条连线上$(da,db)$都会被挡住。

换种表达方式就是对于任意一个点$(x,y)$，会有$gcd(x,y)-1$个点被挡住。于是被挡住的点的个数是$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)-1$$

即答案为$$Ans=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m2*gcd(i,j)-1$$

$$\frac{Ans-n*m}{2}=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)$$

现在的问题就在于如何快速求右边的东西。我们来接着推。

首先有一个东西$n=\sum_{d|n}φ(d)$，于是有$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j)=$

$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d|gcd(i,j)}φ(d)=$$

$$\sum_{d=1}^{min(n,m)}φ(d)\sum_{i=1}^n[d|i]\sum_{j=1}^m[d|j]=$$

$$\sum_{d=1}^{min(n,m)}φ(d)[\frac{n}{d}][\frac{m}{d}]$$

然后线性筛求欧拉函数，分块求和就行了。

 

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
bool vis[100010];
int p[100010],pcnt=0;
int phi[100010];
ll sum[100010];
void sieve(){
    sum[1]=1;
    for(int i=2;i<=100000;i++){
        if(!vis[i]){
            vis[i]=true;
            p[++pcnt]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=1;p[j]*i<=100000&&j<=pcnt;j++){
            vis[p[j]*i]=true;
            if(i%p[j]==0){
                phi[i*p[j]]=phi[i]*p[j];
                break;
            }
            phi[i*p[j]]=phi[i]*(p[j]-1);
        }
        sum[i]=sum[i-1]+phi[i];
    }
}
int main(){
    sieve();
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int t=min(n,m),la;
    ll ans=0;
    for(int i=1;i<=t;i=la+1){
        la=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(ll)(sum[la]-sum[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    ans=ans*2-(ll)n*m;
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}