函数与极限

目录

• 函数与极限
  • 映射
    • 定义
    • 映射的三要素
    • 逆映射
    • 复合映射
  • 函数
    • 定义
    • 构成函数的要素
    • 函数的几种特性

函数与极限

映射

定义

• 设X,Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,那么称f为从X到Y的映射,记作

  \[f：X\to Y \]
  \[x:原像,y:像,X:定义域,D_f(定义域),R_f(range:范围;值域)=\{f(x)|x\in X\} \]

映射的三要素

• \[D_f=X,R_f\subset Y,f(对应法则) \]

• \[x的像y是唯一的,y的原像是不唯一的;\\ R_f是Y的子集,R_f\subset Y \]

  • \[例:\quad f:R\to R,\forall x \in R,f(x)=x^2,R_f=\{y|y\geqslant 0\},R_f\subset R\\ x=0,f(0)=0;y=4,x=\pm 2 \]

  • \[例:X=\{ (x,y)|x^2+y^2=1\},Y=\{ (x,0)|\left| x\right|\leqslant 1\},f:X\to Y \]

  • \[例:f(x)=\sin x,f:[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]\to [-1,1] \]

• \[满射:R_f=Y\\ 单射:x_1\neq x_2,f(x_1)\neq f(x_2)\\ 一一映射:单射,满射 \]

逆映射

• \[f:X\to Y\quad 单射,x\to y,对\forall y\in R_f,唯一的x\in X,f(x)=y\\ f:X\to R_f,g:R_f\to X,f^{-1},D_{f^{-1}}=R_f,R_{f^{-1}}=X \]
  • 只有单射才有逆映射

复合映射

• \[g:X\to Y_1,f:Y_2\to Z,且Y_1\subseteq Y_2\\ f\circ g:X\to Z,(f\circ g)(x)=f[g(x)],g的值域R_g包含在f的定义域内,R_f\subseteq D_f \]

  • \[例:g(x)=\sin x,f(u)=\sqrt{1-u^2},1-u^2\geqslant 0,u^2\leqslant 1,-1\leqslant u\leqslant1 \\ g:R\to [-1,1],f(g(x))=f(\sin x)=\sqrt{1-\sin ^2 x} \]

  • \[例:g(x)=(2x)^2,f(u)=\sqrt{-1-u},f(g(x))=\sqrt{-1-4x^2}\\ g:R\to R,R_g=[0,+\infty);-1-u\geqslant 0,u\leqslant -1,D_f=(-\infty,-1] \]

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函数

定义

• \[数集D\subset R,f:D\to R,y=f(x),x\in D\\ x为自变量,y为因变量,D_f为定义域,D,\quad D_g,D_u\\ R_f=\{y|y=f(x),x\in D\} \]

构成函数的要素

• \[D_f,f（对应法则） \]

  • \[例:y=2,D=(-\infty,+\infty),R_f=\{2\} \]

  

  • \[例:y=\left|{x}\right|=\begin{cases} -x & x<0\\ x & x\geqslant 0 \end{cases} \qquad D=(-\infty,+\infty),R_f=[0,+\infty) \]

  

  • \[例:y=sgn\ x=\begin{cases} 1 & x>0\\ 0 & x=0\\ -1 & x<0 \end{cases} \qquad D=(-\infty,+\infty),R_f=\{-1,0,1\}\\ x=sgn\ x\cdot \left|{x}\right|\qquad sgn:符号函数 \]
    

  • \[例:\lfloor x \rfloor:不超过x的最大整数;取整函数,y=\lfloor x \rfloor\\ [\pi]=3,[0]=0,[-3.5]=-4\\ D=(-\infty,+\infty),R_f=\mathbb{Z} \]

函数的几种特性

• 有界性

  • \[f(x)定义域D,数集X\subset D,\exists K,\forall x\in X,\\ f(x)\leqslant K_1,K_1\ 上界;上界不唯一\\ f(x)\geqslant K_2,K_2\ 下界;下界不唯一 \]

    

  • \[\exists M>0,\left|{f(x)}\right|\leqslant M\quad 有界,M不唯一,-M\leqslant f(x)\leqslant M \\ f(x)=\sin x,\left|{f(x)}\right|\leqslant 1,-1\leqslant f(x)\leqslant 1\\ \left|{\sin x}\right|\leqslant 1,\left|{\sin x}\right|\leqslant 2,... \]
    

• 无界性

  • \[\forall M>0,\exists x_1\in X,使\left|{f(x_1)}\right| >M \]
    

• \[f(x)=\frac{1}{x}\\ 在(0,1)有下界,无上界,是有界的\\ 在(1,2)有上界,有下界,是有界的 \]
  

• \[f(x)在X上有界\iff f(x)在X上有上界,也有下界\\ \left. \begin{aligned} M_1\ 上界,f(x)\leqslant M\\ M_2\ 下界,f(x)\geqslant M\end{aligned}\right\} \implies\left|{f(x)}\right|\leqslant M,-M\leqslant f(x)\leqslant M \]