【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(2):n阶行列式、对换
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简介:因C语言结识编程,随后转入计算机专业,有幸拿过一些国奖、省奖...已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验:扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语!
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然!
1.3 n阶行列式
三阶行列式为:
从中我们可以发现规律:
其中t为排列\(p_1p_2p_3\)的逆序数
进而推出n阶行列式:
特殊情况1:
特殊情况2:
1.4 对换
1.4.1 排列的对换
概念
- 对换:在排列中,将任意两个元素对调,其余的元素不动。
- 相邻对换:在排列中,相邻两个元素进行对换
定理1
内容
一个排列中任意两个元素对换,奇偶性发生改变
证明
首先证明相邻对换的情况
设排列\(a_1...a_iabb_1...b_m\)
a和b对换,变成\(a_1...a_ibab_1...b_m\)
显然,\(a_1...a_i\)、\(b_1...b_m\)这些元素的逆序数没有发生变化
当a<b时
- 从ab变为ba,a的逆序数+1(a前面多了一个b),b的逆序数不变
当a>b时,
- 从ab变为ba,a的逆序数不变,b的逆序数-1(b前面少了一个a)
所以
排列中发生相邻对换,奇偶性会发现变化(奇排列-> 偶排列 or 偶排列->奇排列)
再来证明一般情况
\(a_1...a_iab_1...b_mbc_1...c_n\) ,a与b发生对换,变为\(a_1...a_ibb_1...b_mac_1...c_n\)
我们可以先用\(b\)与\(b_m\)进行相邻对换,变为\(a_1...a_iab_1...bb_mc_1...c_n\)
再用\(b\)与\(b_{m-1}\)进行相邻对换,变为\(a_1...a_iab_1...bb_{m-1}b_mc_1...c_n\)
.
.
.
最后\(b\)与\(b_{1}\)进行相邻对换,变为\(a_1...a_iabb_1...b_mc_1...c_n\)
一共经历了m次相邻对换
和\(b_m、b_{m-1}...b_2、b_1\)对换,一共就是m次
然后,我们再用\(a\)与\(b\)进行相邻对换,变为\(a_1...a_ibab_1...b_mc_1...c_n\)
再用\(a\)与\(b_1\)进行相邻对换,变为\(a_1...a_ibb_1a...b_mc_1...c_n\)
.
.
.
最后\(a\)与\(b_m\)进行相邻对换,变为\(a_1...a_ibb_1...b_mac_1...c_n\)
一共经历了(m+1)次相邻对换
综上
一共发生了m+(m+1)=2m+1次相邻对换
从最开始的证明可以得出
2m+1次相邻对换后,排列的奇偶性还是会发生改变
(交换1次,奇偶性发生转变;交换2次,奇偶性不发生变化-->交换奇数次,奇偶性发生转变;偶数次则不会。2m+1一定是奇数 ,当m为正整数时)
推论
齐排列变成标准排列的对换次数为奇数,偶排列变成标准排列的对换次数为偶数。
说明
首先,标准排列是逆序数为0的偶排列
从定理1可以得知,对换一次,奇偶性发生改变
若是齐排列,对换一次,奇->偶,再对换一次,偶->奇...
对换奇数次,最后变为了偶排列;
对换偶数次,最后变为奇排列。
所以齐排列变成标准排列的对换次数一定为奇数。
偶排列变成标准排列的对换次数为偶数同理可证。
1.4.2 行列式的另一种表示方法
n阶行列式有:
我们选择任意一项:\(a_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}\),其中1...i...j...n为自然排列,\((-1)^t\)中的t为逆序数
然后交换\(a_{ip_i}、a_{jp_j}\),得到
\(a_{1p_1}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n}\)
我们来计算奇偶性的变化
首先,我们知道只是交换来两个元素的位置,该项的值是不会发生变化的。
行标从 1...i...j...n 变为了 1...j...i...n,可以得出排列1...j...i...n的逆序数为是奇数,设为r
因为1...i...j...n逆序数为0,偶排列
根据排列任意元素对换,奇偶性改变,
1...j...i...n就变成了齐排列,那么其逆序数一定就是奇数
同样,设\(p_1...p_j...p_i...pn\)(列标)的逆序数为\(t_1\),得到
\(a_{1p_1}...a_{jp_j}...a_{ip_i}...a_{np_n}\)前面的正负符号为\((-1)^{r+t_1}\)
因为
\((-1)^{t_1}=(-1)(-1)^t=-(-1)^t\)
\(p_1...p_i...p_j...pn\)的逆序数为t \(a_{1p_1}...a_{ip_i}...a_{jp_j}...a_{np_n}\)前面的系数为\((-1)^t\)
对换一次变为\(p_1...p_j...p_i...pn\) 奇偶性发生变化 其实就是乘以(-1)
(排列中,任意两个元素发生对换,奇偶性发生变化,其实就是乘以(-1))
所以\((-1)(-1)^{t_1}=(-1)^t\)
又因为r为奇数,有
\((-1)^r=-1\)
综合下面两个式子:
得到:
推出:
说明
对换行列式中某一项两个元素的位置,使得行坐标、列坐标同时发生变化,但是却并不会改变该项的奇偶性。
一次交换不会改变奇偶性,那么多次交换也不会改变奇偶性
\((-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\)经历若干次对换
列标排列\(p_1p_2...p_n\)一定可以变为自然排列(1 2 3... n)
设若干次变换后
列标排列变为了自然排列
行标排列设为\(q_1q_2...q_n\),则有
对于其中任意一项 \(a_{ij}\),有
得到
说明由\(p_i\)可以确定唯一对应的一个\(q_j\),比如\(2=p_3\) 说明 \(q_2=3\) 且唯一!
那么由\(p_1p_2...p_n\) 可以确定唯一的\(q_1q_2...q_n\)
定理2
内容
n阶行列式也可以定义为:\(\sum(-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}\)
证明
首先,n阶行列式有:
令
从定理1最后的讨论中可以得到:
D中任意一项\((-1)^ta_{1p_1}a_{2p_2}...a_{np_n}\)有且只有一项D1中的某一项\((-1)^ta_{q_11}a_{q_22}...a_{q_nn}\)与之对应(q是可以有p确定的);
同理,D1中任意一项\((-1)^ta_{p_11}a_{p_22}...a_{p_nn}\)也有且只有D中的某一项\((-1)^ta_{1q_1}a_{2q_2}...a_{nq_n}\)与之对应
说明,D与D1中的任意一项都可以一一对应
可以得到\(D=D_1\)
所以
结语
说明:
- 参考于 课本《线性代数》第五版 同济大学数学系编
- 配合书中概念讲解 结合了自己的一些理解及思考
文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程
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