【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(1):二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数

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机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然!

二阶与三阶行列式

二阶行列式

记作

\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12}\\ a_{21} & a_{22} \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}\)

定义

主对角线上的两元素之积减去副对角线上两元素之积所得的差,即:\(a_{11}*a_{22}-a_{12}*a_{21}\)

注:行列式本质是一个数值,比如\(\begin{vmatrix} 1 & 2\\ 3 &4 \end{vmatrix}\)代表的就是数值(-2=1×4-2×3)

举例

\(\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix} = ?\)

答:

\(\begin{vmatrix} 3 & -2\\ 2 & 1 \end{vmatrix}=3*1-(-2)*2=3-(-4)=7\)

三阶行列式

记作

\(\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33}\\ \end{vmatrix}=a_{11}*a_{22}*a_{33}+a_{12}*a_{23}*a_{31}+a_{13}*a_{21}*a_{32}-a_{11}*a_{23}*a_{32}-a_{12}*a_{21}*a_{33}-a_{13}*a_{22}*a_{31}\)

举例

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2\\ \end{vmatrix} = ?\)

答:

\(\begin{vmatrix} 1 & 2 & -4\\ -2 & 2 & 1\\ -3 & 4 & -2 \end{vmatrix}=1*2*(-2)+2*1*(-3)+(-4)*(-2)*4-1*1*4-2*(-2)*(-2)-(-4)*2*(-3)=-14\)

全排列及其逆序数

全排列

定义

从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排列起来,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

当m=n时所有的排列情况叫全排列。

公式

全排列数f(n)=n!(定义0!=1)

举例

用1、2、3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数 ?

答:3×2×1=6种。

假设先放百位,有三种可能,再放十位,有两种可能,最后放个位,只有一种可能了。

故为3×2×1=6种

从上面例子可以发现:

当有n个不同数字进行排列时

第一个位置有(n)选择,第二个位置有(n-1)种选择...第n个位置有1种选择,一共有n(n-1)(n-2)...2*1种可能,也就是n!种排列方式。

我们用\(P_{n}\)表示n种不同元素的所有排列的种数,则

\(P_n=n*(n-1)*(n-2)*...*3*2*1=n!\)

逆序数

概念

  • 标准次序:n个不同的数字,我们可以规定从小到大为标准次序
  • 逆序:与标准排列次序相反(比如两个元素排序是从大到小,与标准次序相反,则视为逆序)
  • 排列的逆序数:一个排列中所有逆序的总数

计算排列的逆序数的方法

n个元素(依次为1,2,3...n-1,n),规定从小到大为标准次序

\(p_1p_2...p_n\)为这n个元素的一个排列,对于元素\(p_i\)(i=1,2...,n),如果比\(p_i\)大的且排在\(p_i\)前面的元素有\(t_i\)个,那么就说\(p_i\)这个元素的逆序数是\(t_i\)

全体元素的逆序数总和为t,那么

\(t=t_2+t_2+...+t_n=\sum_{t=1}^nt_i\)

即是这个排列的逆序数。

举例

求排列32514的逆序数

答:3在第一位,前面没有数,逆序数为0

2在第二位,前面的数中,有一个数3比2大,所以逆序数为1

5的前面没有比5的数,逆序数为0

1的前面比1大的数有:3、2、5,所以逆序数为3

4的前面比4大的只有5,所以逆序数为1

综上,该排列的逆序数t=0+1+0+3+1=5

补充概念

  • 齐排列:逆序数为奇数的排列
  • 偶排列:逆序数为偶数的排列

结语

文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程

希望对您有所帮助,如有错误欢迎小伙伴指正~

我是 海轰ଘ(੭ˊᵕˋ)੭

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posted @ 2021-09-12 12:59  海轰Pro  阅读(318)  评论(0编辑  收藏  举报