联合分布(一):什么是概率分布

1)基础知识预备:概率分布

 1.1)定义:

  广义地,它指称随机变量的概率性质,即一个随机变量在概率空间的分布状况

  狭义地,它是指随机变量的概率分布函数,定义如下:

              对于任意实数a,有: FX(a) = P(X≤a) ,FX(a)即是a的概率分布函数,而 P(X≤a则是在随机变量X取值≤a时的所有的概率之和所以概率分布函数又称为累计概率函数

ps:个人认为叫做累计概率函数更好理解一些啊!!!更详细的剖解请参考 https://www.jianshu.com/p/b570b1ba92bb

但是对于离散分布,再用FX(a) = P(X≤a) 这个公式表达就不准确了,因为FX(a)表示的是随机变量X≤a的概率值之和,但是当X是离散随机变量的话,X≤a显然就不合理了。所以对于离散分布:

                     

 用语言来描述的话,就是:把所有小于等于x的概率值相加,所以本质上还是概率的累积值,只不过在表达上比上式更为严谨。

 

  1.2)研究的意义:

  说完了概率分布的定义,接下来我们当然要了解这个概率分布它到底有什么用,为什么我们要去研究它?这样以便我们能够更好的理解它。

  举个例子吧:将每一天的降雨量设为X,显然,这个X是一个随机变量,那么你如果要研究降雨量,你是会选择研究当X等于某一特定值得概率还是会选择研究X落在实数域上某一区间上的概率呢?

  显而易见,肯定是后者啦。你看天气预报有把每个降雨量的概率告诉你吗(当然这个也不可能。。。),还不是告诉你明天是小雨还是中雨或者是大雨用这样的区间的形式。而概率分布就是描述一个随机变量在某一个区间上的概率

  下面是从各处引用(ctrl+c、ctrl+v)来的我们经常会听到的一些随机分布。因为本文的重点是为了引出联合分布这个知识点,所以对下面的各种分布就不多说了。

  ps:以上都是一些不成熟的个人见解,如果有误,还烦请指出!

 

  1.3)常见的几种分布:

  #二项分布:详细请参考:https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E5%88%86%E4%BD%88

    二项分布是一种离散型的概率分布。故明思义,二项代表这个随机变量只有两种可能的结果。

      掷硬币就是一个典型的二项分布。当我们要计算抛硬币n次,恰巧有x次正面朝上的概率,可以使用二项分布的公式:

                        

       其中,p为正面朝上的概率

  #泊松分布

    泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布。如某一服务设施在一定时间内受到的服务请求的次数

    泊松分布的概率质量函数为:

                      P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}

    泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。

  #正态分布

    又名高斯分布,是一个非常常见的连续概率分布。正态分布在统计学上十分重要,经常用在自然和社会科学来代表一个不明的随机变量

    若随机变量X服从一个位置参数(X的期望)为\mu 、尺度参数(X的标准差)为\sigma 的正态分布,记为:

                        X \sim N(\mu,\sigma^2),

    有几种不同的方法用来说明一个随机变量。最直观的方法是概率密度函数,这种方法能够表示随机变量每个取值有多大的可能性。

    累积分布函数是一种概率上更加清楚的方法,请看下边的例子。

    正态分布的概率密度函数:

                    

    正态分布的累计概率函数(由密度函数表示的):

                  

    正态分布的累积分布函数能够由一个叫做误差函数的特殊函数表示:

                  \Phi (z)={\frac  12}\left[1+\operatorname {erf}\left({\frac  {z-\mu }{\sigma {\sqrt  2}}}\right)\right].

    标准正态分布的累积分布函数习惯上记为\Phi ,它仅仅是指\mu=0\sigma=1的值,

                
\Phi(x)
=F(x;0,1)=
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}
\int_{-\infty}^x
\exp\left(-\frac{t^2}{2}\right)
\, dt.

    将一般正态分布用误差函数表示的公式简化,可得:

                  
\Phi(z)
=
\frac{1}{2} \left[ 1 + \operatorname{erf} \left( \frac{z}{\sqrt{2}} \right) \right]
.

    关于正态分布的几个特征:

    a.密度函数关于平均值对称

    b.平均值与它的众数(statistical mode)以及中位数(median)同一数值。

    c.函数曲线下68.268949%的面积在平均数左右的一个标准差范围内。

    d.95.449974%的面积在平均数左右两个标准差2 \sigma的范围内。

    e.99.730020%的面积在平均数左右三个标准差3 \sigma的范围内。

    f.99.993666%的面积在平均数左右四个标准差4 \sigma的范围内。

    g.函数曲线的拐点为离平均数一个标准差距离的位置。

    关于正态分布的几个性质:

  1. 如果X \sim N(\mu, \sigma^2) \,ab是实数,那么a X + b \sim N(a \mu + b, (a \sigma)^2) 
  2. 如果X \sim N(\mu_X, \sigma^2_X)Y \sim N(\mu_Y, \sigma^2_Y)是统计独立的正态随机变量,那么:
    • 它们的和也满足正态分布U = X + Y \sim N(\mu_X + \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y) 
    • 它们的差也满足正态分布V = X - Y \sim N(\mu_X - \mu_Y, \sigma^2_X + \sigma^2_Y).
    • UV两者是相互独立的。(要求X与Y的方差相等)
  3. 如果X \sim N(0, \sigma^2_X)Y \sim N(0, \sigma^2_Y)是独立正态随机变量,那么:如果X_1, \cdots, X_n为独立标准正态随机变量,那么X_1^2 + \cdots + X_n^2服从自由度为n的卡方分布。
    • 它们的积X Y服从概率密度函数为p的分布
      p(z) = \frac{1}{\pi\,\sigma_X\,\sigma_Y} \; K_0\left(\frac{|z|}{\sigma_X\,\sigma_Y}\right),其中K_0是修正贝塞尔函数(modified Bessel function)
    • 它们的比符合柯西分布,满足X/Y \sim \mathrm{Cauchy}(0, \sigma_X/\sigma_Y).

 

posted @ 2018-08-10 11:40  hahaxzy  阅读(9840)  评论(0编辑  收藏  举报