svds的理论介绍

svd是把1个矩阵用多个矩阵来表示。

定理1.若Ax=0是n元齐次线性方程组，若R(A)=r，则方程组Ax=0的解空间的维数是n-r。

证明:可以将方程进行约分，r个x=自由解的和。

 正交对角化的矩阵解释:用于对角化转换的矩阵是正交矩阵。

定理2.实对称矩阵存在特征值。

 

 

定理3.实对称矩阵都能正交对角化。

 

证明A和A‘A等秩且特征向量相同:

 定理4.

 从这里可以看出奇异向量和特征向量是共线的。

奇异值分解的证明

U和V的大小关系。

 越大的奇异值包含的信息越大,特征向量的方向更能存储信息。

[Ud,Sd,Vd] = svds(R*R'/N,4); 

[Ud,Sd,Vd] = svds(R/N,4); 

这俩结果一样，Ud就是R*R’的特征向量。Ud不是R/N的特征向量。一般来说奇异值分解的U都是当前矩阵的特征向量。

 

 意外收获:特征值能做图像分类。