写道高中题

起因是有人在讨论区问弱智问题，忍住了没骂，进行一个胡的说。

求证：

\[\forall p\in\mathbb P,k\in\mathbb N_+:\varphi(p^k)\geq k \]

且当且仅当 \(p=2,k\in\{1,2\}\) 时取等。

括号 要严谨证明 括号

这啥？？幂跟指数比大小？？不是随便比？？这人不是油饼？？

但是没人回答。于是摸一摸。

\(p=2\) 时：即证

\[\varphi(2^k)=2^{k-1}> k \text{~for~} k\geq3 \]

令

\[f(k)=2^{k-1}-k \]

有

\[f^\prime(k)=2^{k-1}\ln2-1 \]

\(g(k)=2^k-1,h(u)=\ln2\cdot u-1\) 均单增 \(\Rightarrow f'(k)=h(g(k))\) 单增

令 \(f^\prime(k_0)=0\) 解得 \(k_0=1-\ln\ln2/\ln2\approx1.53\)

又 \(f^\prime(k)\) 单增 \(\Rightarrow\) 在 \(k>k_0\) 时 \(f^\prime(k)>0\)

即 \(k>k_0\) 时 \(f(k)\) 单增。则 \(f(k)_{\min}=f(3)=1 \text{~for~} k\geq3\)。

\(p>2\) 时：

\[\varphi(p^k)=p^{k-1}(p-1)\geq3^{k-1}\cdot2 \]

（\(p^{k-1}\geq3^{k-1},p-1\geq3-1\)）

即证

\[3^{k-1}\cdot2-k>0 \text{~for~}k\geq1 \]

同上 \(f(k)=3^{k-1}\cdot2-k\) 的驻点为 \(k_0=1-\ln(2\ln3)\approx0.28\) 且 \(k>k_0\) 时 \(f(k)\) 单增。故 \(f(k)_{\min}=f(1)=1\)。 \(\square\)

然后写完发现别人早答完了。