欧几里得算法与扩展欧几里得算法_C++

先感谢参考文献:http://www.cnblogs.com/frog112111/archive/2012/08/19/2646012.html

注:以下讨论的数均为整数

 

一、欧几里得算法(重点是证明,对后续知识有用)

  欧几里得算法,也叫辗转相除,简称 gcd,用于计算两个整数的最大公约数

  定义 gcd(a,b) 为整数 a 与 b 的最大公约数

  引理:gcd(a,b)=gcd(b,a%b)

  证明:

    设 r=a%b , c=gcd(a,b)

    则 a=xc , b=yc , 其中x , y互质

    r=a%b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c

    而b=yc

    可知:y 与 x-py 互质

    证明:

                假设 y 与 x-py 不互质

                设 y=nk , x-py=mk , 且 k>1 (因为互质)

                将 y 带入可得

                x-pnk=mk

                x=(pn+m)k

                则 a=xc=(pn+m)kc , b=yc=nkc

                那么此时 a 与 b 的最大公约数为 kc 不为 k

                与原命题矛盾,则 y 与 x-py 互质

    因为 y 与 x-py 互质,所以 r 与 b 的最大公约数为 c

    即 gcd(b,r)=c=gcd(a,b)

    得证

  当a%b=0时,gcd(a,b)=b

  这样我们可以写成递归形式

1 inline int gcd(int a,int b)
2 {
3     return b?gcd(b,a%b):a;
4 }

 

  模板题:http://codevs.cn/problem/1212/ 

 

二、扩展欧几里得算法

   扩展欧几里得算法,简称 exgcd,一般用来求解不定方程,求解线性同余方程,求解模的逆元等

  引理:存在 x , y 使得 gcd(a,b)=ax+by

  证明:

         当 b=0 时,gcd(a,b)=a,此时 x=1 , y=0

         当 b!=0 时,

         设 ax1+by1=gcd(a,b)=gcd(b,a%b)=bx2+(a%b)y2

         又因 a%b=a-a/b*b

         则 ax1+by1=bx2+(a-a/b*b)y2

    ax1+by1=bx2+ay2-a/b*by2

    ax1+by1=ay2+bx2-b*a/b*y2

    ax1+by1=ay2+b(x2-a/b*y2)

    解得 x1=y2 , y1=x2-a/b*y2

    因为当 b=0 时存在 x , y 为最后一组解

    而每一组的解可根据后一组得到

    所以第一组的解 x , y 必然存在

    得证

  根据上面的证明,在实现的时候采用递归做法

  先递归进入下一层,等到到达最后一层即 b=0 时就返回x=1 , y=0

  再根据 x=y’ , y=x’-a/b/y’ ( x’ 与 y’ 为下一层的 x 与 y ) 得到当层的解

  不断算出当层的解并返回,最终返回至第一层,得到原解

 1 inline void exgcd(int a,int b)
 2 {
 3     if (b)
 4         {
 5             exgcd(b,a%b);
 6             int k=x;
 7             x=y;
 8             y=k-a/b*y;
 9         }
10     else y=(x=1)-1;
11 }

 

 

 

三、exgcd 解不定方程(使用不将a与b转为互质的方法)

  对于 ax+by=c 的不定方程,设 r=gcd(a,b)

  当 c%r!=0 时无整数解

  当 c%r=0 时,将方程右边 *r/c 后转换为 ax+by=r 的形式

  可以根据扩展欧几里得算法求得一组整数解 x0 , y0

  而这只是转换后的方程的解,原方程的一组解应再 *c/r 转变回去

  (如 2x+4y=4 转换为 2x+4y=2 后应再将解得的 x , y 乘上2)

  则原方程解为 x1=x0*c/r , y1=x0*c/r

  通解 x=x1+b/r*t , y=y1-a/r*t ,其中 t 为整数

  证明:

    将 x , y 带入方程得

    ax+ab/r*t+by-ab/r*t=c

    ax+by=c

    此等式恒成立

    得证

  这里 b/r 与 a/r 为最小的系数,所以求得的解是最多最全面的

  证明:

    为了推出证明中的 ax+by=c ,且想达到更小的系数,只能将 b/r 与 a/r 同除以一个数 s

    而 b/r 与 a/r 互质,且 s 为整数,则 s=1 ,不影响通解

    那么 b/r 与 a/r 就为最小的系数

    得证

 

  模板题:http://www.cnblogs.com/hadilo/p/5917173.html

 

 

四、exgcd 解线性同余方程

  关于 x 的模方程 ax%b=c 的解

  方程转换为 ax+by=c 其中 y 一般为非正整数

  则问题变为用 exgcd 解不定方程

  解得 x1=x0*c/r

  通解为 x=x1+b/r*t

  设 s=b/r (已证明 b/r 为通解的最小间隔)

  则 x 的最小正整数解为 (x1%s+s)%s

  证明:

    若 x1>0,则 (x1%s+s)%s=x1%s%s+s%s=x1%s=x1-ts (t∈N)

    若 x1<0,因在 C++ 里 a%b=-(-a%b)<0 (a<0 , b>0)  如 -10%4=-2

         则 (x1%s+s)%s=(-(-x1%s)+s)%s=(-(ts-x1)+s)%s=ts-x1 (t∈N)

    即为 x1 通过加或减上若干个 s 后得到的最小正整数解

    得证

  亦可伪证 x1<0 的情况:设 x1=-5 , s=2

              则 (x1%s+s)%s=(-5%2+2)%2=(-1+2)%2=3%2=1

              即为 x1 加上 3 个 s 后的到的最小正整数解

 

  模板题:http://www.cnblogs.com/hadilo/p/5951091.html

 

 

 

 

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posted @ 2016-10-11 22:53  Hadilo  阅读(15236)  评论(7编辑  收藏