裴蜀定理和欧几里得

裴蜀定理：

表述：ax + by = gcd(a, b) ，方程组一定有一组整数解

证明：

裴蜀定理

表述：\(ax+by=\gcd(a,b)\) 必有整数解

证明

\[\begin{cases} ax+by=\gcd(a,b)=d \quad (1)\\ ax_0+by_0=s \quad (s为最小正线性组合) \quad (2) \end{cases} \]

只需证 \(s=d\)，即证 \(s\mid d,\ d\mid s\)。

1. 证 \(d\mid s\)

\[\begin{aligned} ax_0+by_0&=s\\ d\cdot\frac{a}{d}x_0+d\cdot\frac{b}{d}y_0&=s\\ d\left(\frac{a}{d}x_0+\frac{b}{d}y_0\right)&=s \end{aligned} \]

得 \(d\mid s\)。

2. 证 \(s\mid d\)
   设 \(a=ks+r,\ 0\le r<s\)：

\[\begin{aligned} r&=a-k(ax_0+by_0)\\ &=a(1-kx_0)+b(-ky_0) \end{aligned} \]

令 \(x_1=1-kx_0,y_1=-ky_0\)，则 \(r=ax_1+by_1\)。
\(s\) 是最小正组合，故 \(r=0 \Rightarrow s\mid a\)，同理 \(s\mid b\)。
\(s\) 是 \(a,b\) 公因子，故 \(s\mid d\)。

结论：\(d\mid s,\ s\mid d \implies s=d\)。
推论：\(ax+by=\gcd(a,b)\cdot n\) 存在整数解（充要条件）
Tips：

• 判断二元线性方程有无解；\(a,b\) 取绝对值求 \(\gcd\)
• \(ax+by=z\) 的最小正 \(z\) 为 \(\gcd(a,b)\)

扩展欧几里得

用于求解 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 的一组特解

推论：ax + by = gcd(a, b) * n，一定有整数解 （充要条件）

tips：

• 裴蜀定理一般用于判断线性方程组是否有解，a，b可能存在负数，求gcd的时候要带入绝对值。
• d 为 ax + by = z ，z最小就是 d。

扩展欧几里得：

扩欧用于求 ax + by = gcd(a, b) ，的特解，过程如下：

扩展欧几里得推导

目标：求解 \(ax+by=\gcd(a,b)\)

1. 边界 \(b=0\)
   \(ax=a\)，特解：

\[\begin{cases} x=1\\ y=0 \end{cases} \]

2. 递归 \(b\neq0\)
   由欧几里得 \(\gcd(a,b)=\gcd(b,a\bmod b)\)

\[\begin{aligned} \gcd(a,b)&=ax_0+by_0 \quad (1)\\ \gcd(b,a\bmod b)&=bx_1+(a-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor b)y_1\\ &=ay_1 + b\left(x_1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_1\right) \quad (2) \end{aligned} \]

联立 \((1)(2)\) 得递推式：

\[\begin{cases} x_0=y_1\\ y_0=x_1-\lfloor\frac{a}{b}\rfloor y_1 \end{cases} \]

逐层递归，直到余数为0，带回边界解 \(\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}\) 即可得到原方程特解。

code：

ULL exgcd(ULL a, ULL b, ULL &x, ULL &y)
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    ULL g = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return g;
}

• 数论的题很容易溢出，必要时需要开__int128。

通解推导

已知特解 \(ax_0+by_0=\gcd(a,b)\)，设通解 \(x=x_0+\Delta x,\ y=y_0+\Delta y\)：

\[\begin{aligned} a(x_0+\Delta x)+b(y_0+\Delta y)&=\gcd(a,b)\\ a\Delta x + b\Delta y &= 0 \implies \frac{\Delta x}{\Delta y}=\frac{b}{a} \end{aligned} \]

令 \(d=\gcd(a,b)\)，可取：

\[\Delta x=\frac{b}{d}k,\quad \Delta y=-\frac{a}{d}k \quad(k\in\mathbb{Z}) \]

通解：

\[\begin{cases} x=x_0+\dfrac{b}{\gcd(a,b)}k\\ y=y_0-\dfrac{a}{\gcd(a,b)}k \end{cases} \]

tips：\(ax\) + \(by\) = \(c\)，\(c\) = \(k\) * \(gcd(a, b)\)，同样还是求 \(a_1\) \(x\) + \(b_{1}\) \(y\) = 1 的特解，\(a_1\) = \(a\) / \(g\), \(b_1\) = \(b\) / \(g\)，然后构造特解
求解的过程一般如下：

二元不定方程 \(ax+by=c\) 求解步骤

1. 扩欧求 \(ax+by=\gcd(a,b)\) 特解 \(x_0,y_0\)，记 \(d=\gcd(a,b)\)
2. 判解：
   • \(d\nmid c\)：无解
   • \(d\mid c\)：有解
3. 有解时：
   • 特解：\(x_1=\dfrac{x_0 c}{d},\ y_1=\dfrac{y_0 c}{d}\)
   • 通解：\(\begin{cases} x=x_1+\dfrac{b}{d}k\\ y=y_1-\dfrac{a}{d}k \end{cases}\quad k\in\mathbb{Z}\)

    ULL a1 = a / g, s1 = s / g, x1 = x / g;
    ULL c10, c20;
    exgcd(a1, s1, c10, c20);
    c10 *= x1;
    c20 *= x1;

c10, c20 即为特解。