容斥原理

容斥原理

定理

集合SS中不具有性质Pi:1≤i≤mPi:1≤i≤m的元素个数：
AiAi为具有性质PiPi的集合

|S|−∑|Ai|+∑Ai⋂Aj−∑Ai⋂Aj⋂Ak+...+(−1)m∑A1⋂A2⋂...⋂Am|S|−∑|Ai|+∑Ai⋂Aj−∑Ai⋂Aj⋂Ak+...+(−1)m∑A1⋂A2⋂...⋂Am



项数：(m0)+(m1)+...+(mm)=2m(m0)+(m1)+...+(mm)=2m

Proof.Proof.
1.1. 没有任何一条性质的元素贡献为11
2.2. 有nn条性质的元素，在nn个集合AiAi中出现，贡献为(n0)−(n1)+(n2)+...+(−1)n(nn)=0(n0)−(n1)+(n2)+...+(−1)n(nn)=0


关于第二条的证明:
根据二项式定理，(1−1)n=0: n≠0(1−1)n=0: n≠0；
或者考虑前n−1n−1个元素都可以选或不选，最后一个元素为了保证选的元素个数的奇偶性只有一种选择，所以奇数个元素的子集数量和偶数个元素的子集数量相等

实质

 

∑i=0n(−1)i(ni)=[n=0]∑i=0n(−1)i(ni)=[n=0]

 

也就是上面的证明过程

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错排

满足ij≠jij≠j的排列数

 

Dn=n!∑i=0n(−1)ii!Dn=n!∑i=0n(−1)ii!

 

(ni)(n−i)! = n!i!(ni)(n−i)! = n!i! 就是≥i≥i个位置不是错排的方案数，应用容斥原理即可

还有一个递推关系
Dn=nDn−1+(−1)nDn=nDn−1+(−1)n

总结

在统计一类问题时，应用容斥原理可以有效的弱化限制条件
有一种统计恰好k个的问题，限制很强，通常弱化为先拿出k个，剩下的任意
这时候容斥的形式通常是

 

= ≥k个 − ≥k+1个 + ≥k+2个 ...= ≥k个 − ≥k+1个 + ≥k+2个 ...

 

这时候我们在统计≥j:k≤j≤n≥j:k≤j≤n时，如果依靠了枚举哪j个或者类似的DP，可能会过多的统计，比如一个k+ik+i个的方案在这时候会被考虑(k+ik)(k+ik)次，所以需要乘上一个组合数系数(k+ik)(k+ik)

有的问题是恰好没有之类的，这时候(i0)=1(i0)=1所以不用考虑这个东西；同理，恰好n个也不用考虑。

update 2017.5.3:貌似这个东西也不是这么回事儿...感觉还与二项式反演有关...还是具体问题具体分析吧

**update 2017.5.15**

今天闲来无事证明了一下，这玩意应该是普遍成立的！

我们考虑一个恰好x:x≥kx:x≥k个的方案被统计的次数：

 

(1)=∑i=kx(−1)i−k(ik)(xi)(2)=(xk)∑i=kx(−1)i−k(x−kx−i)(3)=(xk)∑j=0x−k(x−kj)(4)=[x==k]

 

哈哈O(∩_∩)O

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莫比乌斯反演 Mobius Inversion

说明

容斥原理是莫比乌斯反演在有限偏序集上的一个实例
莫比乌斯反演应用在一类二变量函数，偏序关系到实数的映射
《组合数学》上讨论了好多任意有限偏序集的莫比乌斯反演，还有偏序集的直积，我已经看蒙了
所以直接说莫比乌斯反演在数论上的经典形式吧，反正不是整除关系也不会考

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积性函数

定义

定义域为正整数集的函称为数论函数

满足f(ab)=f(a)f(b) : gcd(a,b)=1f(ab)=f(a)f(b) : gcd(a,b)=1的数论函数称为积性函数

完全积性函数对ab没有互质限制


积性函数：φ(n), μ(n)φ(n), μ(n)

完全积性函数：

• 单位函数ϵ(n)=[n=1]ϵ(n)=[n=1],

• 恒等函数id(n)=nid(n)=n

• 常函数1(n)=11(n)=1

狄利克雷卷积

 

(f∗g)(n)=∑d|nf(d)g(nd)(f∗g)(n)=∑d|nf(d)g(nd)

 

满足交换律，结合律，对加法的分配律，单位元 ϵϵ

###性质 1. 积性函数的**点积**和**狄利克雷卷积**也是积性函数 2. 一个函数的约数和可以卷上11，如约数个数d(n)=(1∗1)(n)d(n)=(1∗1)(n)，约数和 σ(n)=(1∗id)(n)σ(n)=(1∗id)(n)

计算

1. 可以O(nlogn)O(nlogn)预处理，无脑枚举所有数的倍数
2. 线性筛

• i=1, i是质数和i%p[j]!=0的情况很好求
• 对于i%p[j] == 0,可以通过分析增加一个最小质因子后的变化，或者直接考虑f(pk)f(pk)怎么求，反正积性函数不同质因子都是互质乘起来就行了不影响
• 也可以筛出最小质因子的次数，分解成f(n)=f(pk)f(npk)f(n)=f(pk)f(npk)，对于f(pk)f(pk)考虑如何计算，带有约数和的可以考虑展开
• 一些非积性函数也可以通过分析函数的性质也可以用线性筛来求
  例：欧拉函数可以直接根据公式得到如何处理 φ(n)=n∏pi−1pi=∏(pi−1)∗pei−1iφ(n)=n∏pi−1pi=∏(pi−1)∗piei−1

void sieve() {
	varphi[1] = 1;
	for(int i=2; i<=n; i++) {
		if(!notp[i]) p[++p[0]] = i, varphi[i] = i-1;
		for(int j=1; j<=p[0] && i*p[j]<=n; j++) {
			notp[i*p[j]] = 1;
			if(i%p[j] == 0) {
				varphi[i*p[j]] = varphi[i] * p[j];
				break;
			}
			varphi[i*p[j]] = varphi[i] * (p[j]-1);
		}
	}
	for(int i=1; i<=n; i++) varphi[i] += varphi[i-1];
}

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##莫比乌斯函数

μ(1)=1μ(n)=(−1)in是i个质数之积μ(n)=0p2|n, p>1μ(1)=1μ(n)=(−1)in是i个质数之积μ(n)=0p2|n, p>1

 

μ∗1=ϵ， 即 ∑d|nμ(d)=[n=1]$$。</br>$Proof. $设$n$有$k$种质因子，μ∗1=ϵ， 即 ∑d|nμ(d)=[n=1]$$。</br>$Proof. $设$n$有$k$种质因子，

 

\sum\limits_{d|n}\mu(d) = \sum_{i=0}^{k}(-1)i\binom{k}{i}

 

和上面的容斥原理证明类似，应用二项式定理
</br>



## 欧拉函数和上面的容斥原理证明类似，应用二项式定理</br>## 欧拉函数

 

\varphi(n) = \sum_{i=1}^n [(n,i)=1] \
\varphi(n) = \prod p^{c-1}(p-1)

 

</br>1.$$φ∗1=id 即 n=∑d|nφ(d), 反演后 μ∗id=φ</br>1.$$φ∗1=id 即 n=∑d|nφ(d), 反演后 μ∗id=φ

 

Proof.Proof. 考虑列出所有分子inin一共nn个

2.  

   ∑i=1n[(n,i)=1]∗i=[n=1]+n∗φ(n)2∑i=1n[(n,i)=1]∗i=[n=1]+n∗φ(n)2

    

   Proof.Proof. (n,i)=(n,n−i)(n,i)=(n,n−i)，除了1和2 互质成对出现，和为n

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莫比乌斯反演

 

g(n)=∑d|nf(d)f(n)=∑d|nμ(d)g(nd)g(n)=∑d|nf(d)f(n)=∑d|nμ(d)g(nd)

 

g=f∗1→f=g∗μg=f∗1→f=g∗μ


Proof.Proof.
两边都卷上μ∗1μ∗1
其他证明方法还有很多，我写这个是因为这个短


另一种形式

 

g(n)=∑n|df(n)f(n)=∑n|dμ(d)g(dn)g(n)=∑n|df(n)f(n)=∑n|dμ(d)g(dn)

 

***

应用

感觉还是直接使用这个式子代换比较简单，构造函数再进行反演好像并不好想

 

∑d|nμ(d)=[n=1]∑d|nμ(d)=[n=1]

 

有一些常见技巧:

• 枚举gcd取值
• 交换枚举倍数与约数
• 用莫比乌斯函数求和替换
• 改写求和指标
• 最后通常需要得到一个可以整除分块的形式，处理一个函数的前缀和后可以在根号复杂度内解决一次询问

一般的题目推导起来挺套路的，通常都是枚举两个变量求一个带着gcd的东西(有的题目需要你自己把式子变形把gcd放进去)，套路推♂倒之后都变成了整除分块，然后重点就在如何通过线性筛求函数了

栗子

 

∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)先枚举d再枚举倍数,出现[=1]的形式用∑e|nμ(e)=[n=1]替换,先枚举e再枚举倍数改写求和指标，令D=de发现最后就是id∗μ=φ=∑d=1nd∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=d]=∑d=1nd∑i=1nd∑j=1md[gcd(i,j)=1]=∑d=1nd∑e=1nμ(e)ndemde=∑D=1n∑d|Ddμ(Dd)nDmD=∑D=1nφ(D)nDmD∑i=1n∑j=1mgcd(i,j)=∑d=1nd∑i=1n∑j=1m[gcd(i,j)=d]先枚举d再枚举倍数,出现[=1]的形式=∑d=1nd∑i=1nd∑j=1md[gcd(i,j)=1]用∑e|nμ(e)=[n=1]替换,先枚举e再枚举倍数=∑d=1nd∑e=1nμ(e)ndemde改写求和指标，令D=de=∑D=1n∑d|Ddμ(Dd)nDmD发现最后就是id∗μ=φ=∑D=1nφ(D)nDmD

 

代码

int notp[N], p[N];ll varphi[N];
void sieve(int n) {
    varphi[1]  1;
    for(in i=2; i<=n; i++) {
        if(!notp[i]) p[++p[0]] = i, varphi[i] = i-1;
        for(int j=1; j<=p[0] && i*p[j]<=n; j++) {
            notp[i*p[j]] = 1;
            if(i%p[j] == 0) {varphi[i*p[j]] = varphi[i]*p[j]; break;}
            varphi[i*p[j]] = varphi[i]*(p[j]-1);
        }
    }
    for(int i=1; i<=n; i++) varphi[i] += varphi[i-1];
}
ll cal(int n, int m) {
    ll ans=0; int r;
    for(int i=1; i<=n; i=r+1) {
        r = min(n/(n/i), m/(m/i));
        ans += (varphi[r] - varphi[i-1]) * (n/i) * (m/i);
    }
    return ans;
}





（ 转载）