【题解】CF338D GCD Table

CF338D GCD Table

\[\text{Solution} \]

我们依次来考虑 \(i,j\) 需要满足的条件。

首先，既然满足所有 \(1\leq l\leq k\) 满足 \(\gcd(i,j+l-1)=a_l,\) 那么可以合理导出 \(\forall a_l,a_l|i\to \text{lcm}(a)_{i=1}^{k}|i\)

也就是 \(i\) 应当是 \(\text{lcm}\) 的倍数形式。

那么，设最小公倍数为 \(M,\) 设 \(i=k\times M,\) 有一个推论：\(k=1\) 最优。

证明：若 \(k\not =1,\) 则 \(\gcd(i,j+l-1)=\gcd(k\times M,j+l-1)\)

我们发现，\(\gcd\) 的式子里面平白无故多了一个 \(k.\) 同时，假定 \(j\) 满足条件，那么当 \(i\) 取最小的时候，不合法当且仅当 \(\gcd(i,j+l-1)>a_l,\) 而将 \(i\to M\times k\) 并不会将答案变小，所以并不优。

那么 \(i\) 的构造就显然了，直接取最小公倍数即可。

考虑 \(j\) 如何构造。容易发现， \(j\) 需要满足的性质应该是 \(a_l|j+l-1,\) 也就是 \(j+l-1\equiv 0(\bmod a_l)\to j\equiv 1-l(\bmod a_l)\)

于是这就是一堆同余方程组了，但我们还会发现 \(a_l\) 之间并不互质。所以我们需要 ExCRT 来解决。

考虑无解，我们发现，解决方程组只是必要条件，直接带入检验即可。

一些细节：

• 注意解扩展中国剩余定理的时候，方程的解是相对于前 \(k-1\) 个方程的，所以对应解出来的数不能随便模别的数

• 注意到扩展欧几里得的通解形如 \(x=x_0+k\times \frac{c}{\gcd(a,b)}\) 如果我们要让它最小就让它取正数后对 \(\frac{c}{\gcd(a,b)}\) 取模即可

• 这题数据范围大，会爆，需要龟速乘

• 当解要大的时候就算无解了，因为超出了表格的范围

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
const int N=2e4+10;
int n,m,k,a[N],ans1=1,ans2;
inline int gcd(int x,int y){return !y?x:gcd(y,x%y);}
void Exgcd(int a,int b,int &x,int &y){
	if(!b){
		x=1;y=0;
		return;
	}
	Exgcd(b,a%b,x,y);
	int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}
inline int LCM(int x,int y){return x/gcd(x,y)*y;}
inline int Min(int x,int y){return x>y?y:x;}
inline int Max(int x,int y){return x<y?y:x;}
int Mul(int x,int y,int p){
	if(y<0)x=-x,y=-y;
	int s=0;
	while(y){
		if(y&1)s=(s+x)%p;
		x=(x+x)%p;y>>=1;
	}
	return s;
}
void solve(int *A,int *b,int len){
	int M=b[1];
	int xx=0;
	for(int i=2;i<=k;++i){
		int r=A[i]-xx;
		int t,y;
		int d=gcd(M,b[i]);
		if(r%d!=0){
			puts("NO");
			exit(0);
		}
		Exgcd(M,b[i],t,y);
		int nM=LCM(M,b[i]);
		t=Mul(t,r/d,b[i]/d);
		xx=(xx%nM+t%nM*M%nM)%nM;
		if(M>m){
			puts("NO");
			exit(0);
		}
		M=nM;
		xx%=M;xx+=M;xx%=M;
	}
	xx%=M;xx+=M;xx%=M;
	if(xx==0)xx=M;
	if(xx>m){
		puts("NO");
		exit(0);
	}
	ans2=xx;
	for(int i=1;i<=k;++i){
		if(gcd(ans1,ans2+i-1)!=a[i]){
			puts("NO");
			exit(0);
		}
	}
	puts("YES");
}
int num[N];
signed main(){
// 	freopen("in.txt","r",stdin);
	cin>>n>>m>>k;
	for(int i=1;i<=k;++i)cin>>a[i];
	for(int i=1;i<=k;++i){
		ans1=LCM(ans1,a[i]);
		if(ans1>n){
			puts("NO");
			return 0;
		}
	}
	for(int i=1;i<=k;++i)num[i]=(((a[i]-i+1+a[i])%a[i])+a[i])%a[i];
	solve(num,a,k);
	return 0;
}