闭区间套定理

闭区间套定理:

由

1.[a_n , b_n] ⊂[a_n+1 , b_n+1]

2.lim_n→∞  a_n-b_n =0

得

存在唯一 c∈R, c∈[a_{n ,} b_n] 

证明：

首先{an}单调上升且bn为其上界{bn}单调下降且an为其下界 表明 {an}，{bn} 都收敛，分别记其极限为a，b

那么有2. 我们得到 a-b=0 也就是说c=a=b, c>an,c<bn 表明 满足条件

唯一性由夹逼定理易得