C. 自闭的游戏
C. 自闭的游戏
小S在玩一个自闭的游戏。
有一个骰子，这个骰子有\(m\)个面分别写着 \(1\cdots m\)
并且投掷时每面朝上的概率相同。
现在，小S投了这个骰子\(n\)次，并且告诉小T点数\(v\)至少出现了一次。
小T需要猜测一个正整数\(sum\)，表示她猜测的这\(n\)次骰子的点数之和是多少。
现在，他想要知道玩家的正确率有多少呢？
输入格式
一行四个正整数，分别表示\(n,m,v,sum\)。
输出格式
一行一个实数，表示猜对的概率。你的答案被认为是正确的，当且仅当绝对或相对精度误差\(\le 10^{-6}\)。
样例
样例一
input
2 6 6 12
output
0.09090909
样例二
input
2 3 2 4
output
0.20000000
约定与限制
对于\(10\%\) 的数据，满足 \(1 \le n \le 1\)。
对于\(40\%\) 的数据，满足 \(1 \le n,m \le 20\)。
对于\(100\%\) 的数据 ，满足 \(1 \le n,m \le 50\) ，\(1\le v\le m\)，\(1\le sum\le n\times m\)。
时间限制:1s
空间限制:128MB
解题报告
题意理解
有\(n\)个点，每个点的取值范围是\([1,n]\)，已知在这\(n\)个点中，至少有一个点的值为\(v\)，将这个\(n\)个点的和累加，得到值\(x\)
问：当\(x=sum\)的时候的取数方案数占总合法取数方案数的比例？
\(40pts\)思路
我们可以使用暴力搜索，算出每一种方案数，然后再统计合法方案。
代码略
\(100pts\)思路
我们观察这道题目，发现以下几种性质。
- 题目并不关心我们的具体方案，只需要方案数（属性为统计）
- 至少有一个数是\(v\) （限制条件）
- 前面取什么数字，和后面取什么数字并没有任何影响。（无后效性）
那么上面这些性质，就可以保证，这道题目可以使用动态规划算法。
我们接着讨论，如何描述这个状态。
我们发现，这道题目具有明显的线性性质
我们可以把，每一次甩骰子，作为我们的阶段。
接着题目关心，我们这些数的和。
接着题目的限制条件是，这些数中是否至少有一个数是\(v\)
那么状态转移方程是什么呢？自然就是我们的背包动态规划的模样了。
假如说，此时我们第\(i\)个数，他的值是\(j\)
f[i][k][0]+=f[i-1][k-j][0]
//到目前都没有出现v，那么推来的状态，也不可以出现v
if (j!=v)//当前选择元素不是v
f[i][k][1]+=f[i-1][k-j][0]
//现在已经出现v了，而本次没有选择v，那么推来的状态，必须出现过v
if (j==v)
f[i][k][1]+=f[i-1][k-j][0]+f[i-1][k-j][1];
//因为本次选择了v，之前是否选择v没有限制
代码解析
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=52;
int n,m,v,sum;
double f[N][N*N][2];
inline void init()
{
scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&v,&sum);
f[0][0][0]=1;
for(int i=1; i<=n; i++)
for(int j=1; j<=m; j++)
for(int k=max(i,j); k<=i*m; k++)
{
f[i][k][j==v]+=f[i-1][k-j][0];
f[i][k][1]+=f[i-1][k-j][1];
//这里代码和上面解释是一样的，只不过是不同的写法而已
}
double ans=0;
for(int j=1; j<=n*m; j++)
ans+=f[n][j][1];//合法方案，要求是必须选择v的
printf("%.8lf\n",f[n][sum][1]/ans);//保证精度
}
signed main()
{
init();
return 0;
}
