ACwing1064小国王|互不侵犯
原题
题目描述
在 \(n \times n\) 的棋盘上放 \(k\) 个国王，国王可攻击相邻的 \(8\) 个格子，求使它们无法互相攻击的方案总数。
输入格式
共一行，包含两个整数 \(n\) 和 \(k\)。
输出格式
共一行，表示方案总数，若不能够放置则输出\(0\)。
数据范围
\(1 \le n \le 10\),
\(0 \le k \le n^2\)
输入样例：
3 2
输出样例：
16
算法解析
算法构造
这道题目，根据数据范围，不难得出，这道题目考察的是状态压缩动态规划。
分析题目，我们可以得到如下信息。
- 一个点的相邻八格，不可以有其他点。
- 棋盘置点类型。
那么，我们接下来，思考两个流程。
- 如何表示状态
- 如何转移方程
表示状态
显然，题目给的条件，是国王总数是严格限制的，就是k个。
所以说，我们放置了多少个国王，是需要考虑的。
接着，根据棋盘类型的状态压缩动态规划的套路，每一行的状态，我们需要明白。
也就是每一行，哪些位置放了国王。
综上所述，我们可以得出，动态规划的状态表示。
\[f[i][j][s]为所有只摆在前i行，目前摆了j个国王，而且第i行的摆放状态为s
\]
我们可以举一个例子
\[n=5 \\\\
f[1][2][20]表示第一行，已经摆了两个国王，摆在左边第一个，和左边第三个 \\\\
(20)\_{10}=(10100)\_{2}
\]
状态转移
在这里，状态之间的转移，必然要满足，国王之间不会相互攻击到，那么我们进行分析。
两个国王，如果他们存在，直接靠近（上下左右）或者简介靠近（两斜对角），那么显然是不合法的。
因此，转换成为状态理解。
对于一个状态集合而言，显然不能存在相邻的1.
\[101 (可以) \quad 两个国王有间隔\\\\
110 (不可以) \quad 国王1和国王2相邻，可以相互攻击\\\\
\]
因为这会导致，左右两个国王相邻，然后发起攻击。
而且，对于上下两行而言，不能有共同的一位有1
\[101 \\\\
101
\]
因为这会导致，上下两个国王相邻，然后发起攻击。
我们讨论完了，上下左右，接下来是最难的两斜对角。
\[我们设，第i行的状态为a，第i+1行状态为b
\]
那么
\[S=a 或 b \\
也就是S=a|b
\]
是不可以存在，有相邻的1的。
\[a=100 \\\\
b=010 \\\\
S=110 \\\\
\]
因此这会导致，两斜对角国王相互攻击。
综上所述，我们得到集合转移的约束条件。
下面是代码部分，有很详细的解说
解题代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=(1<<10)+20;
vector<int> state,head[N];
//state放置合法状态,head[a]表示a对应的放置集合状态可以转移到的集合状态。
int n,k;
long long f[12][110][N];
int cnt[N];
inline bool check(int x)//这里是检查有没有出现相邻的两个1
{
for(int i=0; i<n; i++)
if ( (x>>i & 1) && (x>>i+1 & 1) )//第i位是1，而且第i+1位也是1
return false;//左右攻击
return true;
}
/*
这里是O(1)算法，来自抽风大佬！！！
inline bool check(int x)//这里是检查有没有出现相邻的两个1
{
return !(x&x>>1);
}
*/
inline int count(int x)//统计这个状态有多少个1，也就是放置了多少个国王
{
int ans=0;
for(int i=0; i<n; i++)
ans+=(x>>i & 1);
return ans;
}
inline void pre()
{
//首先我们找出，所有满足不可能左右攻击的合法放置国王的状态，这是第一步筛除不合法的方案
for(int i=0; i<(1<<n); i++)
if (check(i))//这里，我们存储所有无法左右攻击的合法状态
{
state.push_back(i);
cnt[i]=count(i);//统计这个状态有多少个国王
}
for(int i=0; i<state.size(); i++)//枚举所有状态
for (int j=0; j<state.size(); j++)
{
int a=state[i],b=state[j];
if ( (a & b)==0 && check(a | b) )//这里第一个检查上下攻击，第二个检查两斜对角攻击
head[i].push_back(j);//那么j对应状态，可以转移到i对应的状态。这里我们i,j都是状态对应的坐标
}
}
inline void init()
{
scanf("%d%d",&n,&k);
pre();
f[0][0][0]=1;
for(int i=1; i<=n+1; i++)//n行转移，n+1行是为了好统计答案
for(int j=0; j<=k; j++)//目前使用的国王棋子数量
for(int a=0; a<state.size(); a++)
for(int b=0; b<head[a].size(); b++)
{
int c=cnt[state[a]];//统计state[a]对应的国王个数
if (j>=c)//目前一共放j个国王，从b转移到a，要满足国王数不超标
f[i][j][a]+=f[i-1][j-c][head[a][b]];
}
cout<<f[n+1][k][0]<<endl;//第n+1行什么都不放，相当于只在1~n行放国王，目前一共放了k个国王的总方案数，其实就是答案要求的方案
}
signed main()
{
init();
return 0;
}
