算法竞赛进阶指南 通信线路
题目描述
在郊区有 N 座通信基站，P 条双向电缆，第 i 条电缆连接基站\(A_i\)和\(B_i\)。
特别地，1 号基站是通信公司的总站，N 号基站位于一座农场中。
现在，农场主希望对通信线路进行升级，其中升级第 i 条电缆需要花费\(L_i\)。
电话公司正在举行优惠活动。
农产主可以指定一条从 1 号基站到 N 号基站的路径，并指定路径上不超过 K 条电缆，由电话公司免费提供升级服务。
农场主只需要支付在该路径上剩余的电缆中，升级价格最贵的那条电缆的花费即可。
求至少用多少钱可以完成升级。
输入格式
第1行：三个整数N，P，K。
第2..P+1行：第 i+1 行包含三个整数\(A_i,B_i,L_i\)。
输出格式
包含一个整数表示最少花费。
数据范围
\(0 \le K < N \le 1000\),
\(1 \le P \le 10000\),
\(1 \le L_i \le 1000000\)
输入样例：
5 7 1
1 2 5
3 1 4
2 4 8
3 2 3
5 2 9
3 4 7
4 5 6
输出样例：
4
解题报告
题意理解
就是让你从起点\(1\),到终点\(N\),找一条代价最少的路径,每一条路径的代价是这条路径上的最大权值,且你可以指定一条路径上\(K\)条边权值为零.
思路解析
首先我们一眼就可以确定这道题目是的最短路算法.毕竟题目上白纸黑字上写着要,求出最短路.
首先我们一步步分析一下,这道题目的几个关键点.
- 这道题目的路径代价是什么?
我们发现,这里的路径不同于一般的最短路,每一条路径的最大边是这条路径的最小值
- 题目中有些路径可以清零,这怎么办?
所有关于边的条件或者性质,其实都可以认为是一种特殊边.
这道题目中,有些边可以代价为0,那么我们不妨设置一种特殊边.
比如说\((a,b)\)是相连的边,他们代价是\(c\),那么如果说我们让它免费,不就是又多了一条边,\((a,b)\),只不过他们的代价是0?
所谓的路径可以免费,就是多了一条为0的重边.
所以这道题目的性质,转换一下就是,我们可以设置K条为权值0的边.
所以我们可以设置一个数组\(d[x,p]\)表示从1号节点到\(x\)号节点,途中经过\(p\)条权值为0的边,
- 新加入的边是非0边.
那么我们面对每一条新加入的边\((x,y,z)\)我们的\(d[y,p]=max(d[x,p],z)\),其中\(z\)为\((x,y)\)权值.
- 新加入的边是0边.
如果新加入的边是权值为0的边,显然是\(d[y,p+1]=d[x,p]\).
代码解释
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=10000*3+100;
const int M=1100;
int tot,n,m,k,ver[N],Next[N],head[N],edge[N],dis[M][M];
bool vis[M];
queue<int> q;
void spfa(int s)
{
memset(dis,0x3f,sizeof(dis));
memset(vis,false,sizeof(vis));
dis[s][0]=0;
vis[s]=1;
q.push(s);
while(!q.empty())
{
int x=q.front();
q.pop();
vis[x]=0;
for (int i=head[x]; i ; i=Next[i])
{
int j=edge[i],z=ver[i],w=max(dis[x][0],z);
if (dis[j][0]>w)
{
dis[j][0]=w;
if(!vis[j])
q.push(j),vis[j]=1;
}
for(int p=1; p<=k; p++)
{
int w=min(dis[x][p-1],max(dis[x][p],z));
if (dis[j][p]>w)
{
dis[j][p]=w;
if(!vis[j])
q.push(j),vis[j]=1;
}
}
}
}
}
void add(int a,int b,int c)
{
edge[++tot]=b;
ver[tot]=c;
Next[tot]=head[a];
head[a]=tot;
}
int main()
{
scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
for(int i=1; i<=m; i++)
{
int a,b,c;
scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
add(a,b,c);
add(b,a,c);
}
spfa(1);
int ans=1e9;
for(int i=0; i<=k; i++)
ans=min(ans,dis[n][i]);
if (ans==1e9)
printf("-1");
else
printf("%d",ans);
return 0;
}
