分析“动态规划——最低通行费用”

1. for(int i=2;i<=n;i++){
   for(int j=2;j<=n;j++){
   dp[i][j]=min(dp[i-1][j]+a[i][j],dp[i][j-1]+a[i][j]);
   }
   }
   dp[i][j] = 从 (1,1) 出发到达 (i,j) 的最小通行费之和（含 a[i][j] ）。
   起点： dp[1][1]=a[1][1] ；
   2.表的维度：二维表 dp[1..n][1..n] ，共 n ² 个状态，每个状态对应一个子问题“到达 (i,j) 的最小费用”
   填表范围 ：1≤i≤n, 1≤j≤n （下标从 1 开始，0 行 0 列仅作哨兵）
   填表顺序 ：按行优先（ i 从 1 到 n ，每行内 j 从 1 到 n ）即可。因为 dp[i][j] 只依赖 dp[i−1][j] （上一行，已算完）和 dp[i][j−1] （同一行左侧，已算完），该顺序保证“用到的一定已算出”。等价地，按列优先或按反对角线（ i+j 从小到大）分层填表也正确；反之若乱序或从右下往左上扫则错误
   原问题最优值 ：dp[n][n] ，即表格右下角元素
   3.时间复杂度：读入 n 2 个数耗时 Θ(n 2 ) ；填表时每个状态只做常数次比较与加法，共 n 2 个状态，故总时间为 Θ(n² ) 。
   空间复杂度：二维数组 dp 与 a 各占 Θ(n²) ，合计 Θ(n²) 。

对动态规划算法的理解和体会：1. 动态规划不是“背公式”，而是“先证明能 DP，再写转移”。
2. 三要素必须一一落实：状态定义、转移方程、边界与顺序。
3. 填表顺序由依赖关系决定，而不是由习惯决定。