【学习笔记】杨辉三角

基本概念

这是一个杨辉三角。

记 \(a_{i,j}\) 为第 \(i\) 行第 \(j\) 列的数。

\(a_{i,j} = a_{i-1,j-1} + a_{i-1,j}\)

示例代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n;
int a[105][105];

int main(){
	scanf("%d",&n); //输入行数
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i][1]=1;
		a[i][i]=1;
		for(int j=2;j<i;j++){
			a[i][j]=a[i-1][j-1]+a[i-1][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=i;j++){
			printf("%d ",a[i][j]);
		}
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

杨辉三角与组合数学的关系

记 \(a_{n,m}\) 为从 \(n\) 个数中选 \(m\) 个数的方案数，即 \(C_{n}^{m}\)。

显然，\(C_{n}^{m}=C_{n-1}^{m-1}+C_{n-1}^{m}\)。因为可以选择 \(n\) 或不选择。

可用于预处理组合数。

示例代码

#include <bits/stdc++.h>
#define mod 20123
using namespace std;
int n,m;
int a[105][105];

int C(int n,int m){
	for(int i=0;i<=n;i++){ //n
		for(int j=0;j<=m;j++){
			if(i<j) a[i][j]=0;
			else if(j==0) a[i][j]=1;
			else if(j==1) a[i][j]=i;
			else if(i==0) a[i][j]=0;
			else a[i][j]=(a[i-1][j-1]+a[i-1][j])%mod;
		}
	}
	return a[n][m];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	printf("从%d个数中选择%d个数共有%d种选法",n,m,C(n,m));
	return 0;
}

杨辉三角与二项式展开

众所周知，\((a+b)^{n} = C_{n}^{0} a^{n} + C_{n}^{1} a^{n-1} b + \dots + C_{n}^{n} b^{n}\)

记杨辉三角第一层高度为 \(0\)，则杨辉三角第 \(n\) 层的所有数刚好等于 \(C_{n}^{0} \ C_{n}^{1} \ \dots \ C_{n}^{n}\)

同样可以预处理。

杨辉三角与网格图中的最短路径

这是一个网格图，途中每个点标的数是从 \((1,1)\) 点道现在这个点的最短路径有多少条。

可以发现，第 \(n\) 行标的数，就是杨辉三角的第 \(n\) 条斜列（从 \(1\) 开始计数）。

杨辉三角与斐波那契数列

1       1
1       1
1 1     2
1 2     3
1 3 1   5
1 4 3   8
...     ...

将杨辉三角的每一斜列隔两行错一次位之后，每一行的和组成的数列即为斐波那契数列。

顺便纠正一下一些误区：斐波那契的汉语拼音是 fei bo na qi 。

写在后面

先写到这里吧，以后有时间再更新。